Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları , aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.
L
=
d
d
x
(
1
− − -->
x
2
)
d
d
x
+
l
(
l
+
1
)
∗ ∗ -->
y
{\displaystyle L={d \over dx}(1-x^{2}){d \over dx}+l(l+1)*y\,}
l
∈ ∈ -->
(
0
,
Z
+
)
{\displaystyle l\in (0,\mathbb {Z} ^{+})}
Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde , kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir ;
1
1
− − -->
2
x
t
+
t
2
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
P
n
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}.\qquad }
(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:
P
0
(
x
)
=
1
,
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x}
Bu ilk iki terim Legendre polinomu dur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
x
{\displaystyle x\,}
2
1
2
(
3
x
2
− − -->
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}
3
1
2
(
5
x
3
− − -->
3
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}
4
1
8
(
35
x
4
− − -->
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}
5
1
8
(
63
x
5
− − -->
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}
6
1
16
(
231
x
6
− − -->
315
x
4
+
105
x
2
− − -->
5
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}
7
1
16
(
429
x
7
− − -->
693
x
5
+
315
x
3
− − -->
35
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}
8
1
128
(
6435
x
8
− − -->
12012
x
6
+
6930
x
4
− − -->
1260
x
2
+
35
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}
9
1
128
(
12155
x
9
− − -->
25740
x
7
+
18018
x
5
− − -->
4620
x
3
+
315
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}
10
1
256
(
46189
x
10
− − -->
109395
x
8
+
90090
x
6
− − -->
30030
x
4
+
3465
x
2
− − -->
63
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
L
y
=
0
{\displaystyle Ly=0\,}
Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
y
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
a
n
x
n
{\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
y
′
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
n
a
n
x
n
− − -->
1
{\displaystyle y'=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}
y
″
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
n
(
n
− − -->
1
)
a
n
x
n
− − -->
2
{\displaystyle y''=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
L
y
{\displaystyle Ly\,}
=
(
1
− − -->
x
2
)
y
″
− − -->
2
x
y
′
+
l
(
l
+
1
)
y
{\displaystyle ={\big (}1-x^{2})y''-2xy'+l(l+1)y}
=
(
1
− − -->
x
2
)
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
n
(
n
− − -->
1
)
a
n
x
n
− − -->
2
− − -->
2
x
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
n
a
n
x
n
− − -->
1
+
l
(
l
+
1
)
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
a
n
x
n
{\displaystyle =(1-x^{2})\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-2x\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}+l(l+1)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
[
− − -->
n
(
n
− − -->
1
)
− − -->
2
n
+
l
(
l
+
1
)
]
a
n
x
n
+
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
n
(
n
− − -->
1
)
a
n
x
n
− − -->
2
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
[
l
2
− − -->
n
2
+
l
− − -->
n
]
a
n
x
n
+
∑ ∑ -->
n
=
− − -->
2
∞ ∞ -->
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
a
n
+
2
x
n
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}}
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
[
(
l
+
n
+
1
)
(
l
− − -->
n
)
a
n
+
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
a
n
+
2
]
x
n
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}}
=
0
{\displaystyle =0\,}
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
a
2
=
− − -->
l
(
l
+
1
)
2
a
0
{\displaystyle a_{2}=-{l(l+1) \over 2}a_{0}}
olur. Genellenirse
a
n
+
2
=
− − -->
(
l
+
n
+
1
)
(
l
− − -->
n
)
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
a
n
{\displaystyle a_{n+2}=-{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_{n}}
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
|
a
n
+
2
x
n
+
2
a
n
x
n
|
<
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_{n}x^{n}}\right|<1}
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
n
=
− − -->
l
veya
n
=
− − -->
(
l
+
1
)
{\displaystyle n=-l{\mbox{ veya }}n=-(l+1)\,}
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki
P
n
(
− − -->
x
)
=
(
− − -->
1
)
n
P
n
(
x
)
.
{\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}
[ 1] diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı
P
n
(
1
)
=
1.
{\displaystyle P_{n}(1)=1.\,}
ve son noktada türev ile veriliyor
P
n
′
(
1
)
=
n
(
n
+
1
)
2
.
{\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}.\,}
yukardaki soruda, Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi, bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
− − -->
n
P
n
− − -->
1
(
x
)
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,}
ve
x
2
− − -->
1
n
d
d
x
P
n
(
x
)
=
x
P
n
(
x
)
− − -->
P
n
− − -->
1
(
x
)
.
{\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x).}
Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;
(
2
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
d
d
x
[
P
n
+
1
(
x
)
− − -->
P
n
− − -->
1
(
x
)
]
.
{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}
yukardakinden şu görülebilir
d
d
x
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
P
n
(
x
)
+
(
2
(
n
− − -->
2
)
+
1
)
P
n
− − -->
2
(
x
)
+
(
2
(
n
− − -->
4
)
+
1
)
P
n
− − -->
4
(
x
)
+
… … -->
{\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\ldots }
veya eşdeğeri
d
d
x
P
n
+
1
(
x
)
=
2
P
n
(
x
)
‖ ‖ -->
P
n
(
x
)
‖ ‖ -->
2
+
2
P
n
− − -->
2
(
x
)
‖ ‖ -->
P
n
− − -->
2
(
x
)
‖ ‖ -->
2
+
… … -->
{\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)={2P_{n}(x) \over \|P_{n}(x)\|^{2}}+{2P_{n-2}(x) \over \|P_{n-2}(x)\|^{2}}+\ldots }
burada
‖ ‖ -->
P
n
(
x
)
‖ ‖ -->
{\displaystyle \|P_{n}(x)\|}
‖ ‖ -->
P
n
(
x
)
‖ ‖ -->
=
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
(
P
n
(
x
)
)
2
d
x
=
2
2
n
+
1
.
{\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(P_{n}(x))^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}
Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
P
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
− − -->
1
)
k
(
n
k
)
2
(
1
+
x
2
)
n
− − -->
k
(
1
− − -->
x
2
)
k
.
{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}.}
elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği 'nden Legendre polinomları için okunan
∑ ∑ -->
j
=
0
n
P
j
(
x
)
≥ ≥ -->
0
(
x
≥ ≥ -->
− − -->
1
)
.
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1).}
Legendre polinomlarının bir toplamı
− − -->
1
≤ ≤ -->
y
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle -1\leq y\leq 1}
− − -->
1
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir
δ δ -->
(
y
− − -->
x
)
=
1
2
∑ ∑ -->
ℓ ℓ -->
=
0
∞ ∞ -->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
P
ℓ ℓ -->
(
y
)
P
ℓ ℓ -->
(
x
)
.
{\displaystyle \delta (y-x)={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)P_{\ell }(y)P_{\ell }(x)\,.}
birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir
P
ℓ ℓ -->
(
r
⋅ ⋅ -->
r
′
)
=
4
π π -->
2
ℓ ℓ -->
+
1
∑ ∑ -->
m
=
− − -->
ℓ ℓ -->
ℓ ℓ -->
Y
ℓ ℓ -->
m
(
θ θ -->
,
ϕ ϕ -->
)
Y
ℓ ℓ -->
m
∗ ∗ -->
(
θ θ -->
′
,
ϕ ϕ -->
′
)
.
{\displaystyle P_{\ell }({r}\cdot {r'})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\,.}
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar
(
θ θ -->
,
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle (\theta ,\phi )}
(
θ θ -->
′
,
ϕ ϕ -->
′
)
{\displaystyle (\theta ',\phi ')}
Asimptotiklik
ℓ ℓ -->
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle \ell \rightarrow \infty }
P
ℓ ℓ -->
(
cos
-->
θ θ -->
)
=
J
0
(
ℓ ℓ -->
θ θ -->
)
+
O
(
ℓ ℓ -->
− − -->
1
)
=
2
2
π π -->
ℓ ℓ -->
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
[
(
ℓ ℓ -->
+
1
2
)
θ θ -->
− − -->
π π -->
4
]
+
O
(
ℓ ℓ -->
− − -->
1
)
{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}
ve birimden büyük eklentiler için
P
ℓ ℓ -->
(
1
1
− − -->
e
2
)
=
I
0
(
ℓ ℓ -->
e
)
+
O
(
ℓ ℓ -->
− − -->
1
)
=
1
2
π π -->
ℓ ℓ -->
e
(
1
+
e
)
(
ℓ ℓ -->
+
1
)
/
2
(
1
− − -->
e
)
ℓ ℓ -->
/
2
+
O
(
ℓ ℓ -->
− − -->
1
)
,
{\displaystyle P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)=I_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{(\ell +1)/2}}{(1-e)^{\ell /2}}}+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})\,,}
burada
J
0
{\displaystyle J_{0}}
I
0
{\displaystyle I_{0}}
Bessel fonksiyonlarıdır .
Kayan Legendre polinomları
P
n
~ ~ -->
(
x
)
=
P
n
(
2
x
− − -->
1
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}
x
↦ ↦ -->
2
x
− − -->
1
{\displaystyle x\mapsto 2x-1}
afin dönüşüm 'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan
P
n
~ ~ -->
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
∫ ∫ -->
0
1
P
m
~ ~ -->
(
x
)
P
n
~ ~ -->
(
x
)
d
x
=
1
2
n
+
1
δ δ -->
m
n
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}
kayan Legendre polinomu için bir
P
n
~ ~ -->
(
x
)
=
(
− − -->
1
)
n
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
k
)
(
− − -->
x
)
k
.
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}
açık bağıntı ile veriliyor
kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu
P
n
~ ~ -->
(
x
)
=
1
n
!
d
n
d
x
n
[
(
x
2
− − -->
x
)
n
]
.
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}
ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:
n
P
n
~ ~ -->
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
0
1
1
2
x
− − -->
1
{\displaystyle 2x-1}
2
6
x
2
− − -->
6
x
+
1
{\displaystyle 6x^{2}-6x+1}
3
20
x
3
− − -->
30
x
2
+
12
x
− − -->
1
{\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
4
70
x
4
− − -->
140
x
3
+
90
x
2
− − -->
20
x
+
1
{\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}
Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonları dır,
Q
n
(
x
)
{\displaystyle Q_{n}(x)}
Q
n
(
x
)
=
n
!
1.3
⋯ ⋯ -->
(
2
n
+
1
)
[
x
− − -->
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
(
n
+
3
)
x
− − -->
(
n
+
3
)
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
2.4
(
2
n
+
3
)
(
2
n
+
5
)
x
− − -->
(
n
+
5
)
+
⋯ ⋯ -->
]
{\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}
Diferansiyel denklem
d
d
x
[
(
1
− − -->
x
2
)
d
d
x
f
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}
genel çözümü var
f
(
x
)
=
A
P
n
(
x
)
+
B
Q
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=AP_{n}(x)+BQ_{n}(x)}
burada A ve B sabitlerdir.
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir, ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P 0 n P n
Notlar
^ George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.
Şablon:Abramowitz Stegun ref2 Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials , Mathematical tables, 18 , Pergamon Press Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1 , New York: Interscience Publischer, Inc Dunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions" , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 Koornwinder, Tom H. ; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions , CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31ba876004083425770fac7840fed7a82f62cde)
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e6b2d625a90ce9152fe2c09e352f1d6c64a2b)
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7e93c21921a6b5765cf9b4376575447853ea22)
![{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa454db60b7ec70d700443ad66eed44c67d7d8d)
![{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a781d5a0c753cbd8e63e208169adbe4aedf32953)
![{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abee661c2b131980e40b0311ec94a3d718625b6)
![{\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8524e798b75fe67d6b46c8f2d68ffea9aeeb759)
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6694a886e69ac92d575c47ddbd9d6845d7712dc3)
