Olasılık teorisi ve istatistikte, kovaryans iki değişkenin birlikte ne kadar değiştiklerinin ölçüsüdür. Kovaryans, iki rastgele değişkenin beraber değişimlerini inceleyen bir istatistiktir.^[1] (Özel bir hal olarak iki değişken birbirine özdeşlerse kovaryans o tek özdeş değişkenin varyansı olur.) İki değişkenin birbirine benzer (eş) işlevli olması kovaryant; iki değişkenin birbirine zıt işlevli olması kontravaryant olarak ifade edilir.^[2]

Bir değişkenin daha büyük değerleri çoğunlukla diğer değişkenin daha büyük değerlerine karşılık geliyorsa ve aynı durum daha küçük değerler için de geçerliyse (yani değişkenler benzer davranış gösterme eğilimindeyse), kovaryans pozitiftir.^[3] Tersi durumda, bir değişkenin daha büyük değerleri çoğunlukla diğerinin daha küçük değerlerine karşılık geliyorsa (yani değişkenler zıt davranış gösterme eğilimindeyse), kovaryans negatiftir. Dolayısıyla kovaryansın işareti, değişkenler arasındaki doğrusal ilişki eğilimini gösterir. Kovaryansın büyüklüğü, iki rastgele değişken için ortak olan varyansların geometrik ortalamasıdır. korelasyon katsayısı, iki rastgele değişken için toplam varyansların geometrik ortalamasına bölünerek kovaryansı normalleştirir.

İki rastgele değişkenin kovaryansı arasında bir ayrım yapılmalıdır, bu popülasyon Ortak olasılık dağılımının bir özelliği olarak görülebilen parametre ve örneklemin bir tanımlayıcısı olarak hizmet etmenin yanı sıra popülasyon parametresinin tahmini değeri olarak da hizmet eden örneklem kovaryansıdır.

Kovaryans, beklenen değerleri ${\displaystyle E(X)=\mu }$ ve ${\displaystyle E(Y)=\nu }$ olan X ve Y olarak tanımlanmış iki gerçek değerli rassal değişken arasındaki ilişki söyle tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )),\,}$

Burada E, beklenen değeri temsil etmektedir. Bu tanınım alternatif olarak şöyle de yazılabilir:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X\cdot Y-\mu Y-\nu X+\mu \nu ),\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu \operatorname {E} (Y)-\nu \operatorname {E} (X)+\mu \nu ,\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu \nu .\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,}$

Kovaryansı sıfır olan iki rassal değişkene "korelasyonsuz değişkenler" adı verilir.

Eğer X ve Y bağımsızlarsa o zaman kovaryansları sıfır olur. Bu bağımsızlık hali şu tanımsal ifadenin geçerli olmasından elde edilir:

${\displaystyle E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=\mu \nu .\,}$

Kovaryans tanımı için verilen son ifade göz önüne getirilerek ve bunu uygun yere koyarak şu netice elde edilir:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\mu \nu -\mu \nu =0.\,}$

Fakat bunun aksi doğru değildir. Bazı değişkenler için kovaryans sıfır olmakla beraber, bunlar bağımsız değildirler. Ancak kovaryansın sıfır olması yanında bazı diğer özel koşulların da konulması ile (örneğin çokdeğişirli normal dağılımları göstermeleri koşulu) sıfır değerde kovaryans bağımsızlık ifade eder.

Kovaryans Cov(X, Y) ölçümünün birimi X çarpı Y sonucunun ölçüm birimidir. Buna karşılık, kovaryans kavramından ortaya çıkarılan, doğrusal bağımlılık ölçüsü olan korelasyonun ölçü birimi boyutsuzdur.

Kovaryansın hesaplanması küçük parçalar haline hesaba konulan değerlerle yapılabilir ve bu süreç şu formüle göre yapılabilir:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\operatorname {E} \left((X_{i}-\operatorname {E} (X_{i}))(X_{j}-\operatorname {E} (X_{j}))\right)=\operatorname {E} (X_{i}X_{j})-\operatorname {E} (X_{i})\operatorname {E} (X_{j})}$

Bu formül kovaryans hesaplama formülü olarak da anılır.

Eğer X, Y, W ve V gerçel değerli rassal değişkenlerse ve a, b, c ve d sabit iseler (bu halde sabit kavramı rastsal olmama anlamındadır) aşağıdaki ifadeler, kovaryansın tanımından elde edilebilir:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,a)=0\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X+a,Y+b)=\operatorname {Cov} (X,Y)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov} (X,W)+ad\,\operatorname {Cov} (X,V)+bc\,\operatorname {Cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov} (Y,V)\,}$

Bir seri değişkenler X₁, ..., X_n ve Y₁, ..., Y_m rastsal değişkenler ise şu ifade ortaya çıkartılabilir:

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(\sum _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{j=1}^{m}{Y_{j}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{\operatorname {Cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}.\,}$

Bir seri rastsal değişken X₁, ..., X_n ve sabitler a₁, ..., a_n için şu ifade bulunabilir:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).}$

Eğer X ve Y çoklu-değişirli vektör rastsal değişkenler ise; m-değişirli (yani m-sütunlu) X vektör-değerli rastsal değişken ile n-değişirli (n-sütunlu) vektör değişken Y arasındaki kovaryans matrisi X matris-bekleme değerleri μ=E(X) ve Y matris bekleme değerleri ν=E(Y) ile şöyle tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )^{\top })=\operatorname {E} (XY^{\top })-\mu \nu ^{\top }\,}$

Burada "kovaryans matrisi" m-satırlı ve n-sütunlu (m×n) matrisle ifade edilir ve bu matrisin i satırı ve j sütunu şu kovaryansı verir:

Cov(x_i, y_j)

ve burada 'x_i Xin iinci skaler elemanını ve 'y_j Ynin jinci skaler elemanını gösterir. Bu nedenle Cov(X, Y) ve Cov(Y, X) matrisleri birbirlerinin transpozlarıdır.

Bunu Hilbert uzayında inceleyerek daha genelleştirmek mümkündür.

• Vektörlerin kovaryansı ve kontravaryansı
• Korelasyon
• Kovaryans matrisi
• Varyans