Dışbükey bir kirişler çokgeni, herhangi bir şekilde üçgenlere ayrıldığında ve bu şekilde oluşturulan her üçgene bir iç teğet çember çizildiğinde Japon teoremi, bu üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının, seçilen üçgenlemeden bağımsız bir şekilde sabit olduğunu belirtir. Bu teorem, Carnot teoremi kullanılarak kanıtlanabilir. Japon matematikçilerin eski bir geleneğine göre, bu teorem 1800'de tanrıları ve yazarı onurlandırmak için bir Japon tapınağına asılan tabletlere yazılmış bir Sangaku problemiydi.[1]
Açıklama
yeşil çemberlerin yarıçaplarının toplamı = kırmızı çemberlerin yarıçaplarının toplamı
Tersine, eğer iç teğet üçgenlerin yarıçapları toplamı üçgenlere ayırmadan bağımsız ise, o zaman çokgen kirişler çokgenidir. Japon teoremi, Carnot teoremini takip eder; bu bir Sangaku problemidir.
İspat
Bu teorem, ilk önce özel bir durumu ispatlayarak kanıtlanabilir: Bir kirişler dörtgeni nasıl üçgenleştirilse de (üçgenlere ayrılırsa ayrılsın), üçgenlerin iç teğet çemberlerinin toplamı sabittir.
Dörtgen durumu kanıtladıktan sonra, kirişler çokgeni teoreminin genel durumu doğrudan bir sonuçtur. Dörtgen kuralı, bir kirişler çokgeninin genel bir bölümünün dörtgen bileşenlerine uygulanabilir ve kuralın tekrarlanarak uygulanması, bir köşegeni "çevirme", her "çevirme" iç teğet çember yarıçapları toplamını sağlayacak şekilde herhangi bir bölümden olası tüm bölümleri oluşturacaktır.
Dörtgen durum, kirişler dörtgenleri için Japon teoreminin basit bir genişlemesinden kaynaklanır; bu, dörtgenin iki olası üçgenlemesine karşılık gelen iki çift iç teğet çember merkezi tarafından, bir dikdörtgenin oluşturulduğunu gösterir. Bu teoremin adımları, temel yapıcı Öklid geometrisinin ötesinde hiçbir şey gerektirmez.[3]
Köşegenlere paralel kenarları olan ve dikdörtgenin köşelerine teğet olan bir paralelkenarın ilave çizimi ile, döngüsel çokgen teoreminin dörtgen durumu birkaç adımda kanıtlanabilir. İki çiftin yarıçaplarının toplamlarının eşitliği, inşa edilen paralelkenarın bir eşkenar dörtgen olması koşuluna eşittir ve bu, çizimde kolayca gösterilebilir.
Reyes, Wilfred (2002), "Forum Geometricorum", An Application of Thebault’s Theorem(PDF), 2, ss. 183-185, 24 Ekim 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi(PDF), erişim tarihi: 23 Aralık 2020
Wataru Uegaki. "Japanese Theorem の起源と歴史" [On the Origin and History of the Japanese Theorem - Japon Teoreminin Kökeni ve Tarihi Üzerine]. 15 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi.
