Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni^[a] veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen,^[b] köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember^[c] denir ve köşelerin aynı çember içinde^[d] olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez^[e] ve çevrel yarıçap^[f] olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni^[g] ve kordal dörtgen^[h]dir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

Çembersel^[i] kelimesi Antik Yunancadan gelmektedir. Grekçe: κύκλος (kuklos), "çember" veya "tekerlek" anlamına gelir.

Tüm üçgenler bir çevrel çembere sahiptir, ancak tüm dörtgenler sahip değildir. Çembersel olamayan bir dörtgen örneği kare olmayan bir eşkenar dörtgendir. Aşağıdaki tanımlamalar bölümü, bir dörtgenin bir çevrel çembere sahip olması için hangi gerek ve yeter koşulları sağlaması gerektiğini belirtir.

Herhangi bir kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk veya antiparalelkenar^[j] çevrimseldir. Bir uçurtma ancak ve ancak iki dik açıya sahipse - bir dik uçurtma^[k] ise- çevrimseldir. Bir çift merkezli dörtgen,^[l] aynı zamanda teğetsel^[m] olan çevrimsel bir dörtgendir ve bir dış-çift merkezli dörtgen,^[n] aynı zamanda dış-teğetsel^[o] olan çevrimsel bir dörtgendir. Bir harmonik dörtgen, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımının eşit olduğu bir çevrimsel dörtgendir.

Dışbükey bir dörtgen ancak ve ancak kenarlara dik dört açıortay tek noktada kesişirse^[p] çevrimseldir. Bu ortak nokta çevrel merkez yani çevrel çemberin merkezidir.^[1]

Bir dışbükey ABCD dörtgeni ancak ve ancak karşıt açıları tamamlayıcı ise çevrimseldir,^[1][2] yani:

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radyan}}\ (=180^{\circ }).}$

Doğrudan teorem, Öklid'in Elementler adlı eserinin 3. kitabındaki 22. önermedir.^[3] Eşit bir şekilde, bir dışbükey dörtgen ancak ve ancak her dış açı karşıt iç açıya eşitse çevrimseldir.

1836 yılında Duncan Gregory, bu sonucu aşağıdaki şekilde genelleştirmiştir: Herhangi bir dışbükey çevrimsel 2n-geni verildiğinde, iç "ters" açıların^[s] ikişerli toplamının her biri ${\displaystyle (n-1)\pi }$'ye eşittir.^[4] Bu sonuç, aşağıdaki şekilde daha da genelleştirilebilir: Eğer A1A2... A2n (n > 1), tepe noktası Ai->Ai+k (tepe noktası Ai, Ai+k ile birleştirilir) olan herhangi bir çevrimsel 2n-geni ise, iç ters açıların ikişerli toplamının her biri ${\displaystyle m\pi }$'ye eşittir (burada m = n-k ve k = 1, 2, 3, ... toplam dönüştür).^[5]

Her bir açının stereografik izdüşümü (yarım açı tanjantı) alındığında, bu yeniden ifade edilebilir,

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}$

Bu da şu anlama gelir:^[6]

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1}$

Bir dışbükey ABCD dörtgeni ancak ve ancak bir kenar ile bir köşegen arasındaki açı, karşı kenar ile diğer köşegen arasındaki açıya eşitse çevrimseldir.^[7]

Yani, örneğin,

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

Dışbükey bir ABCD dörtgenin çevrimsel olması için gerek ve yeter diğer koşullar şunlardır: E köşegenlerin kesişme noktası olsun, F ise AD ve BC kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olsun, ${\displaystyle \omega }$, çapı EF doğru parçası olan bir çember olsun ve P ile Q, ${\displaystyle \omega }$ çemberinin oluşturduğu AB ve CD kenarları üzerindeki Pascal noktaları olsun.
(1) ABCD ancak ve ancak P ile Q noktaları ${\displaystyle \omega }$ çemberinin merkezi O ile aynı hizada ise çevrimsel bir dörtgendir.
(2) ABCD ancak ve ancak P ile Q noktaları AB ve CD kenarlarının orta noktaları ise çevrimsel bir dörtgendir.^[2]

Biri AC doğru parçasını, diğeri BD doğru parçasını içeren iki doğru E noktasında kesişiyorsa, A, B, C, D dört noktası ancak ve ancak şu koşullarda aynı çember içinde olur:^[8]

${\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

Kesişim noktası E, çemberin içinde ya da dışında olabilir. İlk durumda çevrimsel dörtgen ABCD, ikinci durumda ise çevrimsel dörtgen ABDC olur. Kesişim iç tarafta olduğunda eşitlik, E'nin bir köşegeni böldüğü parça uzunluklarının çarpımının diğer köşegeninkine eşit olduğunu belirtir. Bu kesişen kirişler teoremi^[t] olarak bilinir çünkü çevrimsel dörtgenin köşegenleri çemberin kirişleridir.

Batlamyus teoremi, çevrimsel bir dörtgenin e ve f köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğunu ifade eder:^[2][9]:p.25

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

burada a, b, c, d sırasıyla kenar uzunluklarıdır. Bunun tersi de doğrudur. Yani, bu denklem dışbükey bir dörtgende sağlanırsa, çevrimsel bir dörtgen oluşur.

Dışbükey bir ABCD dörtgeninde EFG, ABCD'nin köşegen üçgeni olsun ve ${\displaystyle \omega }$ EFG'nin dokuz nokta çemberi olsun. ABCD ancak ve ancak ABCD bimedyanlarının kesişim noktası dokuz nokta çemberi ${\displaystyle \omega }$'ya aitse çevrimseldir.^[2][10][11]

Kenarları a, b, c, d olan çevrimsel bir dörtgenin alanı K, Brahmagupta formülü ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir.^[9]:p.24

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

burada s, yarı çevreyi göstermekte olup, s = 1/2(a + b + c + d) şeklinde bulunur. Bu, Bretschneider formülünün genel dörtgen için bir sonucudur, çünkü karşıt açılar çevrimsel olması durumunda tamamlayıcıdır. Eğer ayrıca d =0 ise, çevrimsel dörtgen bir üçgene dönüşür ve formül Heron formülüne indirgenir.

Çevrimsel dörtgen, aynı kenar uzunluklarına sahip tüm dörtgenler arasında (sıralamaya bakılmaksızın) maksimum alana sahiptir. Bu, Bretschneider formülünün bir başka sonucudur. Ayrıca kalkülüs kullanılarak da kanıtlanabilir.^[12]

Her biri diğer üçünün toplamından daha az olan ve eşit olmayan dört uzunluk, Brahmagupta formülüne göre hepsi aynı alana sahip üç eşlenik olmayan çevrimsel dörtgenin^[13] her birinin kenarlarıdır. Özellikle, a, b, c ve d kenarları için, a kenarı b, c veya d kenarlarından herhangi birinin karşısında olabilir.

Ardışık kenarları a, b, c, d olan çevrimsel bir dörtgenin alanı, a ve d kenarları arasındaki A açısı ve a ve b kenarları arasındaki B açısı şu şekilde ifade edilebilir:^[9]:p.25

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

veya

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}$

veya^[9]:p.26

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

burada θ, köşegenler arasındaki herhangi bir açıdır. Eğer A bir dik açı değilse, alan şu şekilde de ifade edilebilir:^[9]:p.26

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

Bir diğer formül ise,^[14]:p.83

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

burada R çevrel çemberin yarıçapıdır. Doğrudan bir sonuç olarak,^[15]

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

burada ancak ve ancak dörtgen bir kare ise eşitlik söz konusudur.

Ardışık köşeleri A, B, C, D ve kenarları a = AB, b = BC, c = CD ve d = DA olan çevrimsel bir dörtgende, köşegenlerin uzunlukları p = AC ve q = BD taraflar cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:^{[9]:p.25,[16][17]:p. 84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$ ve ${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

böylece Batlamyus teoremi gösterilmiş olur:

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

Batlamyus'un ikinci teoremi'ne göre,^{[9]:p.25,[16]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

yukarıdaki gibi aynı notasyonları kullanır.

Köşegenlerin toplamı için şu eşitsizliğe sahibiz:^{[18]:p.123,#2975}

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

Eşitlik, ancak ve ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olması durumunda geçerlidir, bu da AO-GO eşitsizliği kullanılarak kanıtlanabilir.

Ayrıca,^{[18]:p.64,#1639}

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

Herhangi bir dışbükey dörtgende, iki köşegen birlikte dörtgeni dört üçgene böler; çevrimsel bir dörtgende, bu dört üçgenin zıt çiftleri birbirlerine benzerdir.

Eğer ABCD, AC ile BD'nin E'de kesiştiği çevrimsel bir dörtgen ise^[19]

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

Bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek kenarlar kümesi, her biri aynı çemberde aynı alana sahip bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek üç farklı diziden herhangi birinde düzenlenebilir (Brahmagupta'nın alan formülüne göre alanlar aynıdır). Bu çevrimsel dörtgenlerden herhangi ikisinin ortak bir köşegen uzunluğu vardır.^{[17]:p. 84}

Ardışık kenarları a, b, c, d olan çevrimsel bir dörtgen için yarı çevre s ve a ve d kenarları arasındaki A ise, A açısının trigonometrik fonksiyonları şu şekilde verilir:^[20]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

Karşılıklı kenarları a ve c olan köşegenler arasındaki θ açısı aşağıdaki ifadeyi sağlar^[9]:p.26

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

Karşılıklı kenarlar a ve c'nin uzantıları φ açısıyla kesişiyorsa,

${\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

burada s, yarı çevredir.^[9]:p.31

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ kenarları arasındaki açıyı, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$ arasındaki açıyı ve ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ve ${\displaystyle d}$ arasındaki açıyı göstersin:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

Ardışık kenarları a, b, c, d ve yarı çevresi s olan çevrimsel bir dörtgen, aşağıdaki şekilde verilen çevrel yarıçapa (çevrel çemberin yarıçapı) sahiptir^[16][22]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Bu ifade, 15. yüzyılda Hintli matematikçi Vatasseri Parameshvara tarafından türetilmiştir (Yarıçapın herhangi bir kenar uzunluğunun değişimi altında değişmez olduğunu unutmayın).

Brahmagupta formülünü kullanarak, Parameshvara formülü şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

burada K çevrimsel dörtgenin alanıdır.

Her biri çevrimsel bir dörtgenin bir kenarına dik olan ve karşı kenarın orta noktasından geçen dört doğru parçası, aynı noktada kesişir.^{[23]:p.131;[24]} Bu doğru parçalarına orta nokta rakımının kısaltması olan maltitüdler^[v] adı verilir.^[25] Ortak noktalarına karşıt merkez^[w] adı verilir. Çevrel merkezin "tepe merkezi"ndeki^[x] yansıması olma özelliğine sahiptir. Dolayısıyla, çevrimsel bir dörtgende, çevrel merkez, "tepe merkezi" ve karşıt merkez doğrudaştır.^[24]

Eğer bir çevrimsel dörtgenin köşegenleri P noktasında kesişiyorsa ve köşegenlerin orta noktaları M ve N ise, o zaman dörtgenin karşıt merkezi MNP üçgeninin ortosentr^[y]ıdır.

Bir çevrimsel dörtgenin karşıt merkezi, köşelerinin Poncelet noktasıdır.

• Çevrimsel bir ABCD dörtgeninde, DAB, ABC, BCD ve CDA üçgenlerindeki iç merkezler M₁, M₂, M₃, M₄ (sağdaki şekle bakın) bir dikdörtgenin köşeleridir. Bu, Japon teoremi olarak bilinen teoremlerden biridir. Aynı dört üçgenin ortosentrları ABCD'ye eşleşik bir dörtgenin köşeleridir ve bu dört üçgendeki geometrik merkezler^[z] başka bir çevrimsel dörtgenin köşeleridir.^[7]
• Merkez noktası O olan ABCD çevrimsel dörtgeninde P, AC ve BD köşegenlerinin kesiştiği nokta olsun. O zaman APB açısı AOB ve COD açılarının aritmetik ortalamasıdır. Bu, iç açı teoremi^[aa] ve dış açı teoreminin^[ab] doğrudan bir sonucudur.
• Ne aritmetik ne de geometrik dizide rasyonel alana ve eşit olmayan rasyonel kenarlara sahip çevrimsel dörtgenler yoktur.^[26]
• Eğer bir çevrimsel dörtgenin kenar uzunlukları bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, bu dörtgen aynı zamanda dış-çift merkezlidir.
• Bir çevrimsel dörtgenin karşılıklı kenarları E ve F noktalarında kesişecek şekilde uzatılırsa, E ve F noktalarındaki açıların iç açıortayları diktir.^[13]

Bir Brahmagupta dörtgeni^[27] kenarları, köşegenleri ve alanı tam sayı olan çevrimsel bir dörtgendir. Kenarları a, b, c, d, köşegenleri e, f, alanı K olan tüm Brahmagupta dörtgenleri ve çevresel yarıçapı R, t, u ve v rasyonel parametrelerini içeren aşağıdaki ifadelerden paydadan kurtarmayla elde edilebilir:

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

Aynı zamanda ortodiyagonal olan (dik köşegenlere sahip) bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişiminin bir köşegeni p₁ ile p₂ uzunluğundaki parçalara böldüğünü ve diğer köşegeni q₁ ile q₂ uzunluğundaki parçalara böldüğünü varsayalım. O zaman,^[28] (ilk eşitlik Archimedes'in Book of Lemmas kitabındaki 11. önermedir)

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

burada D çemberin çapıdır. Bu geçerlidir çünkü köşegenler bir çemberin kirişlerine diktir. Bu denklemler çevrel yarıçap R'nin,

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

olarak veya dörtgenin kenarları cinsinden^[23]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

şeklinde ifade edilebileceğini gösterir. Aynı zamanda şu sonucu da doğurur:^[23]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Böylece, Euler dörtgen teoremine göre çevrel yarıçapı, p ve q köşegenleri ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe x cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Alan K için bir formül, çevrimsel ortodiyagonal dörtgenin dört kenarı cinsinden Batlamyus teoremi ve ortodiyagonal dörtgenin alanı formülü birleştirildiğinde doğrudan elde edilir. Sonuç şudur;^[29]:p.222

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

• Çevrimsel ortodiyagonal bir dörtgende, karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar köşegenlerin kesiştiği nokta ile çakışır.^[23]
• Brahmagupta teoremi, aynı zamanda ortodiyagonal olan bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişme noktasından geçen herhangi bir kenardan gelen dikmenin karşı kenarı ikiye böldüğünü belirtir.^[23]
• Eğer bir çevrimsel dörtgen aynı zamanda ortodiyagonal ise, çevrel merkez ile herhangi bir kenar arasındaki mesafe karşı kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.^[23]
• Çevrimsel bir ortodiyagonal dörtgende, köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe, çevrel merkez ile köşegenlerin kesiştiği nokta arasındaki mesafeye eşittir.^[23]

Küresel geometride, kesişen dört büyük çemberden oluşan küresel bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamları eşitse, yani dörtgenin α, β, γ, δ ardışık açıları için α + γ = β + δ ise çevrimseldir.^[30] Bu teoremin bir yönü 1782 yılında Anders Johan Lexell tarafından kanıtlanmıştır.^[31] Lexell, bir kürenin küçük bir çemberi içine yerleştirilmiş küresel bir dörtgende karşıt açıların toplamlarının eşit olduğunu ve çevrel dörtgende karşıt kenarların toplamlarının eşit olduğunu göstermiştir. Bu teoremlerden ilki, bir düzlem teoreminin küresel benzeşimidir ve ikinci teorem onun dualitesidir, yani büyük çemberler ile kutuplarının yer değiştirmesinin sonucudur.^[32] Kiper ve diğ.^[33] teoremin tersini kanıtladılar: Eğer küresel bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman bu dörtgen için bir iç teğet çember vardır.

• Kelebek teoremi
• Brahmagupta üçgeni
• Çembersel çokgen
• Bir noktanın kuvveti
• Batlamyus kirişler tablosu
• Robbins beşgeni

• D. Fraivert, Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral 

• Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
• Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
• Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
• Eric W. Weisstein, Cyclic quadrilateral (MathWorld)