Matematikte, özellikle de yerel sınıf cismi teorisinde, Hasse-Arf teoremi, sonlu bir Galois genişlemesinin Galois grubunun üstten numaralandırma filtrelemesindeki sıçramalarla ilgili bir sonuçtur. Rezidü cisimlerinin sonlu olduğu özel bir durumda Helmut Hasse tarafından^[1][2] ve genel çözümü de Cahit Arf tarafından kanıtlanmıştır.^[3][4]

Teorem, sonlu bir Abel genişlemesi ${\displaystyle {\displaystyle L/K}}$nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki

• ${\displaystyle {\displaystyle L/K}}$ sonlu bir Galois genişlemesi,
• ${\displaystyle {\displaystyle v_{K}},}$ K 'nin,
  • rezidü cismi karakteristiği ${\displaystyle p>0}$ olan ve
  • ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi

olsun. Bu değerlemenin, L'ye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye w diyelim.

• L'nin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi ew, ${\displaystyle {\displaystyle v_{L}}}$ ile
• L'nin ${\displaystyle {\displaystyle v_{L}}}$ altındaki değerleme halkası, ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ile

gösterilsin. ${\displaystyle {\displaystyle L/K}}$'nin Galois grubu G olsun ve ${\displaystyle {\displaystyle L/K}}$'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım:

${\textstyle {\displaystyle G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1\ {\text{ her }}a\in {\mathcal {O}}{\text{ için}}\}.}}$

Örneğin, ${\displaystyle G_{-1},}$ Galois grubu ${\displaystyle G}$'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle ψ_L/K fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu fonksiyon da aşağıda tanımlanmış η_L/K fonksiyonunun tersidir:.

${\displaystyle {\displaystyle \eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.}}$

Üst numaralandırmalı dallanma grupları, s = ψ_L/K(t) olacak şekilde G^t(L/K) = G_s(L/K) ile tanımlanır.

Bu yüksek dallanma grupları G^t(L/K), herhangi gerçel t ≥−1 için tanımlıdır, ancak ${\displaystyle {\displaystyle v_{L}},}$ ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir u > t için G^t(L/K) ≠ G^u(L/K) ise, t'nin, {G^t(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. Hasse–Arf Teoremi, bu sıçramaların aritmetik doğası hakkında bilgi verir.

Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {G^t(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin rasyonel tamsayı^{[not 1]} olduğunu ifade eder.^[4][5]

Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tamsayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan ${\displaystyle Q_{8}}$ of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:

• ${\displaystyle G_{0}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{1}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{4}=1}$

Üst numaralandırma o zaman

• ${\displaystyle n\leq 1}$ için ${\displaystyle G^{n}=Q_{8}}$  
• ${\displaystyle 1<n\leq 3/2}$ için ${\displaystyle G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$  
• ${\displaystyle 3/2<n}$ için ${\displaystyle G^{n}=1}$  

biçiminde olur. Bu yüzden, ${\displaystyle n=3/2}$ iken, yani, tamsayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür.

1. ^ "Rasyonel" kelimesi bazen siklotomik tam sayılar, Eisenstein tam sayıları, Gauss tam sayıları ve Hamilton tam sayıları gibi diğer "tam sayı" türlerinden ayırt etmek için vurgu amacıyla kullanılır.