Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için alakalı konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Maddedeki sorun: Maddenin kontrolü ve matematiksel ifadelerin doğrulanabilmesi için uzman kontrolü gereklisir. Ayrıntılar için lütfen tartışma sayfasını inceleyin veya yeni bir tartışma başlatın. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Hamiltonyan optik^[1] ve Lagrange optiği,^[2] matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),\cdots ,q_{N}\left(\sigma \right)\right)}$, ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ve ${\displaystyle \sigma _{B}}$ parametreleriyle belirtilen iki durum arasında ${\displaystyle N}$ genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,

${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$ olmak üzere,

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$

${\displaystyle \delta S=0\ }$ koşulu ancak ve ancak ${\displaystyle k=1,\cdots ,N}$ iken Euler-Lagrange denklemleri

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$

şartını sağladığında geçerlidir.

Momentum,

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

olarak tanımlandığında, ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$ iken Euler-Lagrange denklemleri,

${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$

şeklinde yeniden yazılabilir.

Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),

${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$

Lagrange'ın parametre ${\displaystyle \sigma }$'ya, konumlara ${\displaystyle q_{i}\ }$ ve konumların ${\displaystyle \sigma }$'ya göre türevlerine ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi ${\displaystyle t}$ zamanı genel bir parametre ${\displaystyle \sigma }$ ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler ${\displaystyle k=1,\cdots ,N}$ iken Hamilton denklemleridir.

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,}$

Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir.^[3][4] 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.

Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında

${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ }$

yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu ${\displaystyle {\mathbf {A} }=\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)\ }$ noktasından başlayarak

${\displaystyle {\mathbf {B} }=\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)\ }$

noktasında bitmek üzere

${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)\ }$ ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar

${\displaystyle q_{k}\ }$ nın rolünü ${\displaystyle x_{1}\ }$ ve ${\displaystyle x_{2}\ }$ koordinatları alırken, ${\displaystyle x_{3}\ }$ ise ${\displaystyle \sigma \ }$ parametresinin rolünü alır yani parametre ${\displaystyle \sigma =x_{3}}$ ve ${\displaystyle N=2}$. Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem ${\displaystyle ds}$,^[2]

${\displaystyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$

olarak yazılabilir. ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ olmak üzere optik Lagrange

${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$

şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$

burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine ${\displaystyle \sigma =x_{3}}$ ve ${\displaystyle N=2}$ parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$

Sonucunu verir, burada ${\displaystyle k=(1,2)}$, ${\displaystyle L}$ optik Lagrange ve

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ olarak tanımlanmıştır.

Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$

ve optik Lagrangian

${\displaystyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$ tanımından yola çıkılarak bu ifade

${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$ olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,

${\displaystyle {\mathbf {p} }=n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)}$

${\displaystyle =\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n{\mathbf {\hat {e}} }}$

burada ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ bir birim vektördür ve açılar ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ve ${\displaystyle \alpha _{3}}$, ${\displaystyle p}$'nin sırasıyla ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ve ${\displaystyle x_{3}}$ eksenlerine şekil "optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir

${\displaystyle \|{\mathbf {p} }\|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n}$

burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör ${\displaystyle p}$, ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve ${\displaystyle p}$ vektörü ışık rayına teğettir. Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. ${\displaystyle {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1}$ olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,

${\displaystyle L=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$

Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,

${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}=\int {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }.}$

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi ${\displaystyle N=2}$ için yukarıda karşılığı verilmiş ${\displaystyle x_{1}\left(x_{3}\right)}$ ve ${\displaystyle x_{2}\left(x_{3}\right)}$ denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,

${\displaystyle H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L.}$

Bu ifadeyi Lagrange için

${\displaystyle L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$ ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,

${\displaystyle H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}}$

Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,^[5][6]

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$

şeklinde yazılabilir. Burada ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ and ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ olarak alınmıştır.

Işığın ${\displaystyle x_{3}}$ ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, ${\displaystyle x_{1}\ }$ ve ${\displaystyle x_{2}\ }$ koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar ${\displaystyle q_{k}\ }$ rolünü alırken, ${\displaystyle x_{3}\ }$ σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre ${\displaystyle \sigma =x_{3}}$ ve ${\displaystyle N=2}$.

Eğer ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ düzlemi, aşağıda ${\displaystyle n_{A}}$ ve altında ${\displaystyle n_{B}}$ kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir ${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\mbox{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\mbox{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$ ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$

Ve böylece ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ ya da ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}\ }$ çıkarımları yapılabilir. Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde (${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ düzleminin altında) ${\displaystyle p_{A}}$ momentumuna ve kırılma sonrasında (${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ düzlemi üzerinde) ${\displaystyle p_{B}}$ momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce ${\displaystyle x_{3}}$ ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile ${\displaystyle \theta _{A}}$ açısı ve kırılma sonrası ${\displaystyle x_{3}}$ ekseni ile ${\displaystyle \theta _{B}}$ açısı yapar. Momentumun ${\displaystyle p_{1}}$ ve ${\displaystyle p_{2}}$ bileşenleri sabit olduğu için yalnızca ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle p_{3A}}$'dan ${\displaystyle p_{3B}}$'ye değişir. Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma

${\displaystyle d=\|{\mathbf {p} }_{A}\|\sin \theta _{A}=\|{\mathbf {p} }_{B}\|\sin \theta _{B}}$.

${\displaystyle \|{\mathbf {p} }_{A}\|=n_{A}}$ ve

${\displaystyle \|{\mathbf {p} }_{B}\|=n_{B}}$ olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir

${\displaystyle n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}\ }$

bu ifade Snell kırılma yasasını verir.

“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali ${\displaystyle x_{3}}$ ekseninin ve

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\mathbf {p} }_{A}-{\mathbf {p} }_{B}}$ vektörünün yönündedir. Daha sonra

${\displaystyle {\mathbf {n} }={\mathbf {v} }/\|{\mathbf {v} }\|}$birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir.

${\displaystyle {\mathbf {n} }={\frac {{\mathbf {p} }_{A}-{\mathbf {p} }_{B}}{\|{\mathbf {p} }_{A}-{\mathbf {p} }_{B}\|}}={\frac {n_{A}{\mathbf {i} }-n_{B}{\mathbf {r} }}{\|n_{A}{\mathbf {i} }-n_{B}{\mathbf {r} }\|}}}$

burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın (${\displaystyle {\mathbf {p} }_{B}}$ yönünde) gelen ışın (${\displaystyle {\mathbf {p} }_{A}}$ yönünde) ve yüzey normali ${\displaystyle {\mathbf {n} }\ }$ ile aynı düzlemdedir. Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an ${\displaystyle n_{A}=n_{B}}$ eşitliği, ${\displaystyle \theta _{A}=\theta _{B}}$ ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, ${\displaystyle i}$ ve ${\displaystyle r}$, sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak ${\displaystyle n_{A}=n_{B}}$ ile verilir

${\displaystyle {\mathbf {n} }={\frac {{\mathbf {i} }-{\mathbf {r} }}{\|{\mathbf {i} }-{\mathbf {r} }\|}}}$

Vektör formunda, eğer ${\displaystyle i}$, gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve ${\displaystyle n}$, yüzeyin normali ise, kırılan ${\displaystyle r}$ ışınının yönü şöyledir:^[3]${\displaystyle {\mathbf {r} }={\frac {n_{A}}{n_{B}}}{\mathbf {i} }+\left(-\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right){\mathbf {n} }}$ burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.

${\displaystyle \Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right)^{2}\right)}$

Eğer i⋅n<0 ise hesaplamalarda −n kullanılmalıdır. ${\displaystyle \Delta <0}$ olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,

${\displaystyle {\mathbf {r} }={\mathbf {i} }-2\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right){\mathbf {n} }.}$

Optik yol uzunluğunun tanımından ${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}.k=1,2}$ iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak, ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$ İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu ${\displaystyle \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$, yukarıda kanıtlanan ${\displaystyle H=-p_{3}\ }$ eşitliğini ve

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$ denklemini momentum ${\displaystyle p}$'nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:

${\displaystyle {\mathbf {p} }=\nabla S.}$

${\displaystyle P}$, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, ${\displaystyle S=}$ Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum ${\displaystyle p}$ gösterilmiştir. Vektör alanı ${\displaystyle {\mathbf {p} }=\nabla S}$ korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak

${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d{\mathbf {s} }=S({\mathbf {B} })-S({\mathbf {A} })}$

elde edilir ve ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ noktaları arasındaki ${\displaystyle C}$ eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu ${\displaystyle S}$, sadece ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle ${\displaystyle A=B}$ olur böylece ${\displaystyle S=\oint \nabla S\cdot d{\mathbf {s} }=0}$ sonucuna ulaşılır.

Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir ${\displaystyle ABCDA}$ yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,

${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }+\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }+\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }+\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=0}$

Eğri doğru parçası ${\displaystyle AB}$ için optik momentum ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle AB}$ eğrisi boyunca bir ${\displaystyle ds}$ yer değiştirmesine diktir yani ${\displaystyle {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=0.}$ Aynı şey ${\displaystyle CD}$ doğru parçası için de geçerlidir. ${\displaystyle BC}$ doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ${\displaystyle ds}$ ile aynı yöndedir ve ${\displaystyle {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=nds.}$ ${\displaystyle DA}$ doğru parçası için, optik momentum ${\displaystyle p}$, yer değiştirme ${\displaystyle ds}$ ile zıt yönde ve ${\displaystyle {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=-n\,ds.}$

Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik ${\displaystyle {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=n\,ds}$ olur. Bunlar hesaba katıldığında ${\displaystyle \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds}$ ya da ${\displaystyle S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }}$ sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle C}$ noktaları arasındaki optik yol uzunluğu ${\displaystyle S_{BC}}$, ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle D}$ noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu ${\displaystyle S_{AD}}$ ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada ${\displaystyle x_{2}=0}$ ${\displaystyle p_{2}=0}$ olduğundan ışık ${\displaystyle x_{1}x_{3}}$ düzlemi doğrultusunda artan ${\displaystyle x_{3}}$ değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ ve ${\displaystyle p_{2}=0}$ olduğundan ışınının yönü momentumun ${\displaystyle p_{1}}$ bileşeni tarafından tamamen tanımlanır ${\displaystyle {\mathbf {p} }=(p_{1},p_{3}).}$ ${\displaystyle P_{1}}$ verilirse, ${\displaystyle p_{3}}$ hesaplanabilir (kırılma indisi ${\displaystyle n}$ değeri verilirse) ve bu nedenle ${\displaystyle p_{1}}$, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$ ifadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın ${\displaystyle r_{C}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ eksenini, ${\displaystyle x_{B}}$ konumunda ortalayan yarıçapı ${\displaystyle n}$ olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum ${\displaystyle P_{C}}$ ile ${\displaystyle x_{B}}$ koordinatından kesmektedir. ${\displaystyle X_{B}}$ Koordinatını ve momentum ${\displaystyle p_{C}}$'nin yatay koordinatını ${\displaystyle p_{1C}}$, ışını ${\displaystyle r_{C}}$'yi, ${\displaystyle x_{1}}$ eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi ${\displaystyle x_{1}p_{1}}$ uzayında bir nokta ${\displaystyle r_{C}=(x_{B},p_{1C})}$ ile tanımlanabilir. Uzay ${\displaystyle x_{1}p_{1}}$'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın ${\displaystyle r_{D}}$, alttaki faz uzayında bir nokta ${\displaystyle r_{D}}$ ile temsil edilir. ${\displaystyle r_{C}}$ ve ${\displaystyle r_{D}}$ Işınları arasında bulunan ${\displaystyle x_{B}}$ koordinatında ${\displaystyle x_{1}}$ ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında ${\displaystyle r_{C}}$ ve ${\displaystyle r_{D}}$ noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$ ışınları arasında bulunan ${\displaystyle x_{A}}$ koordinatında ${\displaystyle x_{1}}$ eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$ noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, ${\displaystyle x_{l}}$ ekseni ${\displaystyle x_{L}}$ ve ${\displaystyle x_{R}}$ arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir ${\displaystyle R}$ hacmi ile gösterilir. ${\displaystyle R}$ hacminin ${\displaystyle \partial R}$ sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, ${\displaystyle x_{1}}$ ekseni koordinat ${\displaystyle x_{A}}$'da, ışınlar ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

Üç boyutlu geometride momentum

${\displaystyle {\mathbf {p} }=(p_{1},p_{2},p_{3})}$

with ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}.}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ve ${\displaystyle p_{2}}$ verilirse, ${\displaystyle p_{3}}$ hesaplanabilir (kırılma indisinin ${\displaystyle n}$ değeri verilir) ve bu nedenle ${\displaystyle p_{1}}$ ve ${\displaystyle p_{2}}$ ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. ${\displaystyle X_{3}}$ ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ düzleminde bir nokta ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ve bir yönde ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı ${\displaystyle x_{1}x_{2}p_{1}p_{2}}$'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), ${\displaystyle A}$ alanı ile sınırlanmış bir hacim ${\displaystyle V}$'yi gösterir. Zamanla, ${\displaystyle A}$ sınırı hareket ederse, ${\displaystyle V}$ hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi ${\displaystyle dA}$ dışa doğru işaret eden bir birim normali ${\displaystyle n}$ doğrultusunda ${\displaystyle v}$ hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:

${\displaystyle dV=dA({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })dt.}$

Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam ${\displaystyle V}$ hacminin zaman içerisinde değişimi:

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=\int _{A}{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\,dA=\int _{V}\nabla \cdot {\mathbf {v} }\,dV.}$

En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim ${\displaystyle V}$'nin sınır ${\displaystyle A}$'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle V}$ noktalarının hangi hareket ettiği hızdır. Optikte ${\displaystyle x_{3}\ }$ zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını ${\displaystyle {\mathbf {v} }=({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})\ }$ “hızı” ile ilerleyen bir nokta ${\displaystyle (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\ }$ ile tanımlanır. Burada nokta ${\displaystyle x_{3}\ }$’e göre türevi temsil eder.

${\displaystyle x_{1}\ }$ koordinatında ${\displaystyle dx_{1}\,x_{2}\ }$ koordinatında ${\displaystyle dx_{2}\,p_{1}\ }$ koordinatında ${\displaystyle dp_{1}\ }$ ve ${\displaystyle p_{2}\ }$ koordinatında ${\displaystyle dp_{2}\ }$ üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}\ }$ hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim ${\displaystyle V}$ yi kaplar,

${\displaystyle {\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot {\mathbf {v} }\,dV}$

Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {v} }={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0}$

sonucuna varılır. Yani, ${\displaystyle dV/dx_{3}=0\ }$ ve ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}\ }$

bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir. Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, ${\displaystyle x_{3}}$ yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.

Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte ${\displaystyle 2N}$ boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, ${\displaystyle N}$, molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.^[3]

Şekil "etendue korunumu" solda, ${\displaystyle x_{2}=0}$ ve ${\displaystyle p_{2}=0}$ olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan ${\displaystyle x_{1}x_{3}}$ yönünde ilerler. Noktanın ${\displaystyle x_{1}=x_{l}}$ noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$ noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$ arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge ${\displaystyle r_{I}}$ ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$ noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları ${\displaystyle r_{A}}$ ve ${\displaystyle r_{B}}$ arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge ${\displaystyle r_{O}}$ ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki ${\displaystyle R_{I}}$ tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki ${\displaystyle r_{O}}$ tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.

Görüntülenen optikte giriş diyaframını ${\displaystyle x_{1}=x_{l}}$'de geçen tüm ışık ışını ${\displaystyle x_{1}=x_{0}}$ ${\displaystyle x_{I}=mx_{O}}$ olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme ${\displaystyle m}$ ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, ${\displaystyle R_{O}}$'da dikey çizgi ${\displaystyle r_{A}}$ ${\displaystyle r_{B}}$'nin ${\displaystyle R_{O}}$'da dikey çizgi ${\displaystyle r_{A}}$ ${\displaystyle r_{B}}$'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, ${\displaystyle R_{I}}$'nın kenar ışınları ${\displaystyle \partial R_{I}}$'yi ${\displaystyle R_{O}}$'nun kenar ışınlarına ${\displaystyle \partial R_{O}}$ dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, ${\displaystyle x_{1}\ }$ ve ${\displaystyle x_{2}\ }$ koordinatları ${\displaystyle q_{k}\ }$ genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, ${\displaystyle x_{3}}$ parametre ${\displaystyle \sigma }$ rolünü üstlenir, yani parametre ${\displaystyle \sigma =x_{3}}$ ve ${\displaystyle N=2}$'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right),x_{3}\left(\sigma \right)\right)\ }$ olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, ${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\ }$ ve ${\displaystyle x_{3}\ }$ koordinatları, ${\displaystyle q_{k}\ }$ genelleştirilmiş koordinatlarının ${\displaystyle N=3}$ olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma }$

${\displaystyle =\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0}$

ve şimdi ${\displaystyle L=nds/d\sigma \ }$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$

burada ${\displaystyle k=1,2,3}$ ve ${\displaystyle L}$ optik Lagrange'dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$

ve Hamilton denklemlerinde ${\displaystyle P}$, yukarıda tanımlanan ve ${\displaystyle N=3}$ için verilen ${\displaystyle x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right)}$ ve ${\displaystyle x_{3}\left(\sigma \right)}$ fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.

${\displaystyle P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L}$

Ve ${\displaystyle k=1,2,3}$ iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$

burada ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ve ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$ olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,

${\displaystyle L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right).}$

ve açıkça parametre ${\displaystyle \sigma }$'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen ${\displaystyle \sigma }$ üzerine ${\displaystyle L}$'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.

Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,

${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$

burada ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,

${\displaystyle L=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}}$

${\displaystyle L}$ için bu ifadeyi Hamilton ${\displaystyle P}$ ifadesi ile karşılaştırıldığında, ${\displaystyle P=0\ }$ sonucuna ulaşılır. ${\displaystyle p_{k}\ }$'nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,

${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$

Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir:

${\displaystyle P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0k=1,2,3}$ ve ${\displaystyle P=0\ }$ ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)\ }$ ve genelleştirilmiş momenta ${\displaystyle \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)\ }$ ve Hamilton işlevi ${\displaystyle P}$ açısından yazmak mümkündür:

${\displaystyle {\frac {dq_{1}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}}$

${\displaystyle {\frac {dq_{2}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dq_{3}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}}$

${\displaystyle P=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0}$

burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:

${\displaystyle \mathbf {p} =u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}}$

${\displaystyle =u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}}$

${\displaystyle =u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}}$

ve ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}$ ve ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$ birim vektörlerdir.

Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir. Bu durumda optik momentum ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ile birim vektör ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{k}}$ arasındaki açının kosinüsü ${\displaystyle u_{k}a_{k}/n\ }$ ifadesine eşittir.

• Hamilton mekaniği
• Diferansiyel Kalkülüs