Grup (matematik)

Grup (tutam veya öbek), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Gruplar, ilk başta geometrik şekillerin simetrilerini araştırırken keşfedilmiştir. Dolayısıyla bir kübün simetrileri, bir sonlu grup örneği olarak verilebilir. Ama aynı şekilde, tam sayıların kümesi de toplama işlemiyle birlikte bir grup teşkil eder.

Tanımlar ve Özellikler

Tanım

Eğer üzerinde bir tane ikili işlemi tanımlanmış bir kümesi

  • Bileşme: Her için

aksiyomunu sağlıyorsa bir yarı gruptur. Eğer bir yarı grup,

  • Etkisiz eleman: Öyle bir mevcuttur ki her için

özelliğini sağlıyorsa bu kümeye monoid denir. Eğer bir monoid,

  • Ters eleman: Her için öyle bir elemanı vardır ki

özelliğini de sağlıyorsa kümeye grup adı verilir. İşlemi vurgulamak için gösterimi kullanılır.

Ayrıca bir grup

  • Değişme: Her için

özelliğini de sağlıyorsa değişmeli grup ya da Abel'in anısına Abelyen grup olarak adlandırılır.

Özellikler

Yukarıdaki aksiyomlar sağlandığında bazı özellikler otomatikman geçerli olur:

  • Etkisiz Elemanın Biricikliği Bir grupta birden fazla etkisiz eleman bulunmaz.
  • Ters Elemanların Biricikliği Her elemanının yegâne bir ters elemanı bulunur. Dolayısıyla elemanların tersini almak bir fonksiyondur ve bu fonksiyon şu özellikleri gösterir:
  • Sadeleşme Özelliği ise
  • Bölme Özelliği Her elemanları için özelliğini sağlayan bir ve yegâne bir mevcuttur.
  • Üs n tane 'nın çarpımı kısaca olarak gösterilir. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar
    • Sadece abelyen gruplar için

Temel Kavramlar

Homomorfizma

İki grubun yapısındaki benzerliklere homomorfizma ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, ve iki grup olsun, ise bu iki grup arasında tanımlı bir eşleme olsun. Eğer her için özelliği sağlanıyorsa 'ye bir homomorfizma denir. Homomorfizmalar bize hem hem de 'nin yapısı hakkında bilgi verdiği için çok kullanışlıdır.

Bir homomorfizma için, ile 'nin görüntüsü, yani 'de ile ulaşılabilen tüm elemanların kümesi kastedilir. daima 'nin bir altgrubudur. ile de 'nin çekirdeği, yani özelliğini sağlayan tüm elemanların kümesi kastedilir. daima 'nin bir altgrubudur, hatta normal bir altgruptur.

Bir homomorfizma, aynı zamanda birebir ve örten ise bu homomorfizmaya izomorfizma adı verilir. Aralarında bir izomorfizma bulunan iki gruba izomorfik denir ve bu durum şeklinde gösterilir. İki grubun izomorfik olması demek, iki grubun tanım kümeleri farklı da olsa yapılarının tamamen aynı olması demektir. Grup teoresinde, iki grubun birbiriyle "aynı" olduğu söylendiğinde çoğu zaman aslında izomorfik olduğu kastedilir.

İzomorfizma örneği vermek gerekirse, fonksiyonu, tam sayılar ve çift tam sayılar arasında bir izomorfizma teşkil eder. Dolayısıyla iki grubun tanım kümesi farklı olsa da belki şaşırtıcı bir şekilde yapılarının aynı olduğu ortaya çıkar.

Eğer , 'nin elemanlarını yine 'ye götüren bir homomorfizma ise 'ye bir endomorfizma denir. Eğer hem bir endomorfizma, hem de bir izomorfizma ise 'ye bir otomorfizma denir. 'nin tüm otomorfizmalarını alıp bir kümeye koyarsak, bu otomorfizmalar kendi aralarında bir grup teşkil eder, bu grup ile gösterilir.

Altgrup

Daha büyük bir grubun içinde bulunan gruplara altgrup ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, , 'nin bir altkümesi olsun. Eğer , 'nin işlemi ile kendi içinde de bir grupsa bu durumda 'ya 'nin altgrubu denir ve bu durum şeklinde gösterilir. Bir grubun altgrup olup olmadığını kontrol etmek için üç şeye bakmak gerekir:

  1. Her için de 'nun içinde
  2. Her elemanının tersi 'de 'nun içinde
  3. boşküme değil

Bu iki şart sağlanınca diğer grup aksiyomları otomatikman kanıtlanır. Ayrıyeten, 'nin eleman sayısı sonlu ise ikinci şart da otomatikman sağlanır.

Örnek vermek gerekirse, tüm çift sayıların kümesi, tüm tam sayıların kümesinin bir altgrubudur. Benzer şekilde, bir karenin tüm rotasyon simetrileri, karenin tüm simetrilerinin grubunun bir altgrubudur.

Şimdi , 'nin herhangi bir alt kümesi olsun. 'i içeren ve 'nin tüm altgrupların kesişimine tarafından üretilen altgrup denir ve ile gösterilir. Eşdeğer bir tanım ise, ve 'deki elemanların toplamları veya tersleri olarak yazılabilen tüm elemanların oluşturduğu altgruba denmesidir.

Eşkümeler

Şimdi bir grup, da bir altgrup olsun. Bir seçip 'nun elemanlarıyla tek tek çarpıp bunları bir kümeye yerleştirirsek bu kümeye bir eşküme denir ve bu şeklinde gösterilir. Eşkümeleri tanımlamanın başka bir yolu ise; bir eşküme ise her için olmasını gerektirmektir.

Meselâ 'yi bir karenin simetrileri olarak alırsak ve karenin rotasyon simetrilerinden oluşan altgrubunu ise ile gösterirsek, iki eşkümeye bölünür: 'nun kendisi ve bir yansıtmadan sonra ulaşılabilen simetrilerin kümesi. Veya 'yi alıp 3'ün katlarını içeren altgruba bölersek 3 eşküme elde ederiz: , ,

Grup çarpımı birebir olduğundan bir altgrubun tüm eşkümeleri eşit sayıda eleman içerir. Aynı zamanda, hiçbir eleman iki farklı eşkümenin aynı anda elemanı olamaz ve tüm eşkümelerin birleşimi de grubun tamamını verir. Bütün bunlar, Lagrange Teoremini kanıtlar: ise ve sonluysa 'nun eleman sayısı, 'nin eleman sayısının daima bir bölenidir.

Abelyen olmayan gruplarda, hem soldan çarparak şeklinde, hem de sağdan çarparak şeklinde eşkümeler elde etmek mümkündür. Bu eşkümelerin birbirinin aynısı olması da zorunlu değildir, ancak aynı olduğu durumlarda 'ya bir normal altgrup denir ve bu durum şeklinde gösterilir. Abelyen grupların tüm altgrupları normaldir.

Bölüm Grupları

Eğer , 'nin normal bir altgrubuysa, 'nun eşkümeleri arasında bir işlem tanımlamak mümkündür. Çünkü sadece normalse, 'nun iki eşkümesi ve 'den iki eleman alıp çarpınca yine tek bir eşkümeye ait elemanlar elde ederiz. normal bir altgrup değilse seçtiğimiz elemana göre farklı eşkümeler elde etmek mümkündür.

'nun eşkümeleri arasında bu şekilde bir işlem tanımlayıp elde ettiğimiz gruba 'nun bölüm grubu denir ve bu ile gösterilir. Bu şekilde 'yi daha basit olan iki parçaya ayırmış oluruz: ve .

Örnek vermek gerekirse, 'yi karenin simetri grubu olarak aldığımızda, sadece rotasyon simetrilerini içeren altgrup normaldir. Bu durumda iki elemandan oluşan bir altgrup verir ve 8 elemanlı 'yi 4 ve 2 elemanlı iki grup olarak parçalamış oluruz. Aynı şekilde tüm tam sayıları alıp 5'in katlarına bölersek 5 elemanlı bir grup elde etmiş oluruz. Bu bölüm grubu, sayılarının modülo 5 toplandığı gruba izomorftur.

Kaynakça

  • Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
  • Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
  • Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
  • Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.

Ayrıca bakınız

Read other articles:

Bamba Dieng Dieng with Senegal in 2022Informasi pribadiNama lengkap Cheikh Ahmadou Bamba Mbacke Dieng[1]Tanggal lahir 23 Maret 2000 (umur 23)Tempat lahir Pikine, Senegal[2]Tinggi 178 m (584 ft 0 in)Posisi bermain ForwardInformasi klubKlub saat ini LorientNomor 11Karier junior2010–2014 ASC SUNEOR2014–2019 DiambarsKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2019–2020 Diambars 14 (12)2020–2021 Marseille B 4 (0)2021–2023 Marseille 40 (8)2023– Lorient 15 (3...

 

 

Grand Prix Kanada 1992 Lomba ke-7 dari 16 dalam Formula Satu musim 1992 Detail perlombaanTanggal 14 Juni 1992Nama resmi Grand Prix Molson du CanadaLokasi Circuit Gilles VilleneuveMontreal, Quebec, CanadaSirkuit Temporary street circuitPanjang sirkuit 4.430 km (2.753 mi)Jarak tempuh 69 putaran, 305.670 km (189.935 mi)Cuaca Dry with temperatures reaching up to 25 °C (77 °F); wind speeds up to 14 kilometer per jam (8,7 mph)[1]Posisi polePembalap Ayrton Senna McLaren-Hond...

 

 

Kain membunuh Habel, sebuah fratrisida yang diilustrasikan olehGustave Doré[1]). Bagian dari seri tentangKekerasan terhadap pria Isu Kekerasan domestik garis besar terhadap pria manajemen Pemotongan kelamin paksa Sunat paksa Pengebirian paksa Pengebirian berbahaya pengangkatan penis secara paksa Shame-stroke Perdagangan manusia Penculikan pengantin pria Pembunuhan Androsida Patrisida Maritisida Fratrisida Avunkulisida Kekerasan seksual dan pemerkosaan Pemerkosaan Pemerkosaan penjara ...

American attorney and national security official (born 1968) Lisa Monaco39th United States Deputy Attorney GeneralIncumbentAssumed office April 21, 2021PresidentJoe BidenPreceded byJeffrey A. Rosen6th United States Homeland Security AdvisorIn officeMarch 8, 2013 – January 20, 2017PresidentBarack ObamaPreceded byJohn O. BrennanSucceeded byTom BossertUnited States Assistant Attorney General for the National Security DivisionIn officeJuly 1, 2011 – March 8, 2013Presiden...

 

 

Khas juris doctor diploma, di sini dari Suffolk University Law School Sekolah hukum (dikenal dengan pendidikan ilmu hukum atau sekolah tinggi hukum) adalah sebuah lembaga yang mengkhususkan diri dalam pendidikan hukum, biasanya terlibat sebagai bagian dari proses seseorang untuk menjadi pengacara dalam suatu yurisdiksi. Indonesia Sarjana hukum di Indonesia terdiri dari tiga tingkat. Tingkat pertama adalah strata satu (S1) dengan gelar Sarjana Hukum/S.H. Hal ini dapat diperoleh dalam kurun wak...

 

 

Si Roy adalah sebuah film drama yang disutradarai oleh Achiel Nasrun dan diproduksi oleh Andalas Kencana Film pada tahun 1989.[1] Film ini dibintangi oleh Ryan Hidayat, Margie Dayana, Monica Gunawan, dan Ade Giuliano. Musik Si Roy: Original SoundtrackAlbum lagu tema karya Anggun C. Sasmi / beragam artisDirilis1989Direkam1989GenrePop, rockLabelHins CollectionAnggun C. Sasmi Dunia Aku Punya(1986)Dunia Aku Punya1986 Si Roy(1989) Anak Putih Abu Abu(1991)Anak Putih Abu Abu1991 Si Roy: ...

Location of Talbot County in Maryland This is a list of the National Register of Historic Places listings in Talbot County, Maryland. This is intended to be a complete list of the properties and districts on the National Register of Historic Places in Talbot County, Maryland, United States. Latitude and longitude coordinates are provided for many National Register properties and districts; these locations may be seen together in a map.[1] There are 62 properties and districts listed ...

 

 

J-VillageLocalizzazioneStato Italia RegionePiemonte LocalitàTorino IndirizzoVia Druento 175, I-10151 Torino Coordinate45°06′41.83″N 7°37′52.55″E / 45.111618°N 7.631265°E45.111618; 7.631265Coordinate: 45°06′41.83″N 7°37′52.55″E / 45.111618°N 7.631265°E45.111618; 7.631265 Informazioni generaliCondizioniin costruzione Costruzione2015-in corso Usocivile-sportivo multifunzionale Area calpestabile175475 m²[1] RealizzazioneC...

 

 

Chuck McCann (2013) Charles John Thomas Chuck McCann (2 September 1934 – 8 April 2018)[1] adalah seorang tokoh kebugaran Amerika, aktor, dan komedian. Catatan ^ Chuck McCann. IMDb. Diakses tanggal March 7, 2008.  Pranala luar Chuck McCann di IMDb (dalam bahasa Inggris) (Inggris) http://www.chuckmccann.net Diarsipkan 2018-04-10 di Wayback Machine. Wikimedia Commons memiliki media mengenai Chuck McCann.

Ballon d'Or 2018Pemenang Ballon d'Or 2018 Luka ModrićTanggal3 Desember 2018 (2018-12-03)LokasiParis, PrancisNegaraPrancisDipersembahkan olehFrance FootballIkhtisarBallon d'Or Luka Modrić (gelar pertama)Ballon d'Or Féminin Ada Hegerberg (gelar pertama)Kopa Trophy Kylian Mbappé (gelar pertama)Situs webwww.francefootball.fr← 2017 Ballon d'Or2019 → Ballon d'Or 2018 adalah upacara penghargaan tahunan ke-63 yang mengakui pesepakbola terbaik di dunia untuk tahun 2018. Pemenangn...

 

 

2016 studio album by LeadThe ShowcaseStudio album by LeadReleasedJune 8, 2016Recorded2012-2016GenreHip-hop, pop, R&B, danceLabelPony CanyonCD (PCCA-4403)CD [Limited] (PCCA-4400)CD+DVD (PCCA-4401)CD+Booklet (PCCA-4402)Lead chronology Now or Never(2012) The Showcase(2016) Milestone(2018) Singles from The Showcase StillReleased: December 12, 2012 UpturnReleased: June 19, 2013 Green DaysReleased: September 18, 2013 SakuraReleased: February 26, 2014 Omoide BreakerReleased: September 17...

 

 

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Марков. Леонид Марков Имя при рождении Леонид Васильевич Марков Дата рождения 13 декабря 1927(1927-12-13)[1][2] Место рождения с. Алексеевка,Казахская АССР, СССР Дата смерти 1 марта 1991(1991-03-01)[3] (63 года) Место смер...

2020年夏季奥林匹克运动会科索沃代表團科索沃国旗IOC編碼KOSNOC科索沃奧林匹克委員會網站www.noc-kosovo.org(英文)(阿爾巴尼亞文)(塞爾維亞文)2020年夏季奥林匹克运动会(東京)2021年7月23日至8月8日(受2019冠状病毒病疫情影响推迟,但仍保留原定名称)運動員11參賽項目6个大项旗手开幕式:阿基爾·賈科瓦(英语:Akil Gjakova)和瑪琳達·開爾門蒂(柔道)[1]闭幕式�...

 

 

Questa voce sull'argomento calciatori italiani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Bruno Novello Nazionalità  Italia Calcio Ruolo Centrocampista CarrieraSquadre di club1 1941-1948 Venezia130 (19)1948-1956 Padova155 (23)Carriera da allenatore 1960-1965 Montebelluna 1 I due numeri indicano le presenze e le reti segnate, per le sole partite di campionato.Il simbolo → ind...

 

 

本條目存在以下問題,請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要編修,以確保文法、用詞、语气、格式、標點等使用恰当。 (2013年8月6日)請按照校對指引,幫助编辑這個條目。(幫助、討論) 此條目剧情、虛構用語或人物介紹过长过细,需清理无关故事主轴的细节、用語和角色介紹。 (2020年10月6日)劇情、用語和人物介紹都只是用於了解故事主軸,輔助�...

习近平 习近平自2012年出任中共中央总书记成为最高领导人期间,因其废除国家主席任期限制、开启总书记第三任期、集权统治、公共政策与理念、知识水平和自述经历等争议,被中国大陸及其他地区的民众以其争议事件、个人特征及姓名谐音创作负面称呼,用以恶搞、讽刺或批评习近平。对习近平的相关负面称呼在互联网上已经形成了一种活跃、独特的辱包亚文化。 权力�...

 

 

Type of mail delivery Mail jumping is a type of mail delivery. The person doing the mail jumping (known as a mail jumper) is transported on a body of water by a boat. The person jumps off the boat onto a dock, places incoming mail in a mailbox, retrieves outgoing mail, and jumps back onto the boat.[1] The boat continues to move at a slow and steady pace (about 5 miles per hour (8 km/h)) while the mail jumper is jumping.[2] Geneva Lake Walworth II on Geneva Lake The mail j...

 

 

Slave narrative by Josiah Henson The Life of Josiah Henson, Formerly a Slave, Now an Inhabitant of Canada, as Narrated by Himself Josiah HensonAuthorJosiah HensonLanguageEnglishSubjectSlavery in the United StatesGenreAutobiographyPublished1849 Arthur D. Phelps, BostonPublication placeUnited StatesFollowed byTruth Stranger Than Fiction. Father Henson's Story of His Own Life TextThe Life of Josiah Henson, Formerly a Slave, Now an Inhabitant of Canada, as Narrated by Himself at Project...

Former Enslaved Man (deceased 1910) Tom Blue, enslaved by General Sam Houston, ran away and joined the Mexican military Tom Blue (died 1910) was an enslaved personal servant and coachman of Sam Houston, who purchased Blue prior to his marriage to Margaret Lea. He worked for Houston for nearly 30 years. In the fall of 1862, he ran away with another servant, a boy named Walter Hume. They traveled together to Laredo, Texas and Blue sold Hume for $800. He crossed into Mexico, where he lived as a ...

 

 

Франкфурт. Антисемитская карикатура, обвиняющая евреев в ритуальном убийстве христианского мальчика в 1475 году Религиозный антисемитизм — разновидность антисемитизма, предубеждение и ненависть к евреям как носителям иудаизма. Одни авторы сближают понятия антииуда�...