Ömür, futbola okul takımlarında oynayarak başladı ve Trabzon'daki okullara gidip seçme yapan Trabzonspor hocaları tarafından keşfedildi.[1] 2011'de filiz lisans çıkartıldı. 2012-13 sezonunda U-14 takımı ile Türkiye finallerine kaldı ve dördüncülük yaşadı. 2014-15 sezonunda U-16 ile Türkiye şampiyonluğu yaşadı.
20 Temmuz 2015'te profesyonel sözleşme imzaladı. Kasım 2015'te UEFA'nın internet sitesinde "haftanın genç yeteneği" olarak lanse edildi ve oyun tarzı Lionel Messi ve Gheorghe Hagi'ye benzetildi.[2] 12 Ocak 2016'da Adanaspor ile oynanan Türkiye Kupası maçında 65. dakikada teknik direktör Sadi Tekelioğlu tarafından Soner Aydoğdu'nun yerine oyuna dahil edilerek ilk resmî maçına çıktı. Bir sonraki sezon Trabzonspor U-21'de oynarken Ersun Yanal yönetimindeki A takım ile çalışmalara devam etti. 5 Ekim 2016'da The Guardian tarafından yayınlanan '99 doğumlu 60 yetenek listesinde Türkiye'den yer alan tek futbolcu oldu.[3] 17 Aralık 2016'da Medipol Başakşehir ile oynanan maçta son sekiz dakika şans bularak ilk Süper Lig maçına çıktı. 22 Aralık 2016'da Kızılcabölükspor ile oynanan kupa maçında kariyerinde ilk kez ilk 11'de sahaya çıkan futbolcu, 5-0 kazandıkları maçta ilk golünü de kaydetti.
2017-18 sezonu Ömür'ün tamamen A takıma yükseldiği sezon oldu. Düzenli olarak forma şansı bulan futbolcunun adı Bayern Münih ve Atletico Madrid ile anıldı.[4] Ligde iki asist yaptıktan sonra ilk Süper Lig golünü 15 Ekim 2017'de Akhisar Belediyespor'a 6-1 yenildikleri maçta kaydetti.
2021-2022 sezonunda Trabzonspor ile 38 resmî maça çıktı. 29 maçta direkt ilk 11 de başlayan Ömür, sezon boyunca toplam 7 gol, 3 asist ile katkı sağladı. Sezonu 81 puan ile 1. sırada tamamlayıp Süper Lig'de ilk şampiyonluğuna ulaştı.[5]
Yaptığı açıklamalarda oyun zekası ve vizyonu nedeniyle Andres Iniesta ve defansı geçme becerisi nedeniyle Messi'den etkilendiğini söyledi.[2] Ayrıca hem hucüm hem de defans yönünün kuvvetli olması nedeniyle Luca Modric'i örnek aldığını belirtti.[1]
