PROFILPELAJAR.COM

Sylvesters sats är en matematisk sats uppkallad efter matematikern James Joseph Sylvester som lyder Om man har en ändlig punktmängd i planet, $P$ , där alla punkter inte ligger längs en linje så finns det en linje som skär exakt två punkter.

Bevis

Bildar mängden $L$ som är mängden av alla linjer i planet som skär minst två punkter i $P$ . Tar sedan ett par $(p,l)$ , där $p$ är en punkt i $P$ , $l$ är en linje i $L$ och där $l$ inte går igenom $p$ , så att avståndet mellan $p$ och $l$ är det minsta möjliga.

Påstår att om vi valt rätt $p$ och $l$ enligt ovan så kommer $l$ att skära exakt två punkter och satsen skulle därmed vara uppfylld.

Om $l$ inte skär två punkter så måste den skära fler punkter i $P$ . Om vi väljer $l$ och $p$ där $l$ går genom exempelvis tre punkter, se figur 1. Då uppstår en motsägelse i och med att om vi istället tar linjen $m$ och punkten $q$ enligt figur två så blir avståndet $A$ större än avståndet $B$ och därmed uppfyller inte $(p,l)$ kravet på att de skulle ha minsta möjliga avstånd mellan dem.