Chapman påbörjade universitetsstudier i Manchester 1904, vid 16 års ålder. Inledningsvis studerade han till ingenjör, och tog också en ingenjörsexamen, men utvecklade ett sådant intresse för matematik att han stannade kvar ett ytterligare år på universitetet för att även ta en examen i matematik. På inrådan av en lärare i Manchester sökte han sig därefter till Trinity College vid Cambridgeuniversitetet, som allmänt ansågs ge den bästa och mest krävande utbildningen i matematik. Chapman tog examen med högsta betyg 1910, och påbörjade forskning i ren matematik under G.H. Hardy, men inbjöds samma år av Frank Watson Dyson att bli hans assistent vid Observatoriet i Greenwich. Från 1914 till 1919 återvände Chapman till Cambridge som lektor i matematik, från 1919 till 1924 var han professor i matematik i Manchester och flyttade sedan till Imperial College i London.
År 1946 valdes Chapman till att inta lärostolen för Natural Philosophy vid universitet i Oxford och tilldelades ett stipendium vid Queens College. Efter sin pensionering från Oxford fortsatte han en internationell karriär med forskning och föreläsningar runt hela världen. Till denna kan räknas universitet i Alaska, Colorado, Istanbul, Kairo, Prag och Tokyo.
Chapman och den svenske fysikern David Enskog vidareutvecklade oberoende av varandra den kinetiska gasteorin genom att utöka Boltzmanns lag med det som kom att kallas Chapman-Enskogmetoden.
Chapman gjorde också flera insatser inom geofysiken. 1930 klarlade han de fotokemiska mekanismer som ger upphov till ozonskiktet. Han studerade också flera andra geofysiska och astrofysiska fenomen inom aeronomin. Han var för övrigt den som namngav området aeronomi.
Utmärkelser
Chapman tilldelades många utmärkelser under sin karriär, bland andra:
^ [ab] MacTutor History of Mathematics archive, läst: 22 augusti 2017.[källa från Wikidata]
^ [ab] SNAC, SNAC Ark-ID: w6qf8v6w, läs online, läst: 9 oktober 2017.[källa från Wikidata]
^Dalibor Brozović & Tomislav Ladan, Hrvatska enciklopedija, lexikografiska institutet Miroslav Krleža, 1999, Hrvatska enciklopedija-ID: 11461.[källa från Wikidata]
^Aleksandr M. Prochorov (red.), ”Чепмен Сидни”, Большая советская энциклопедия : [в 30 т.], tredje utgåvan, Stora ryska encyklopedin, 1969, läst: 28 september 2015.[källa från Wikidata]
^ [abcdefghijk] MacTutor History of Mathematics archive.[källa från Wikidata]