PROFILPELAJAR.COM

Тензор (грч. tensio што значи напрезање) је вектор одређеног векторског простора и као математичка структура представља уопштење вектора. Тензорске величине су физичке величине чија вредност зависи и од координате. Оне се математички представљају матрицом.

Тензор је физичка величина која је повезана са еластичним, деформабилним особинама супстанци. Тензорским величинама се описују векторске величине у анизотропној средини, као што је средина код некубичних кристала. Тензорске величине су момент инерције, топлотна проводљивост, електрична проводљивост, дифузиони коефицијент, индекс преламања и друге.^[1]

Тензорски рачун је област математике у којој се проучавају тензори и операције с њима. Тензорски рачун обухвата тензорску алгебру и тензорску анализу. Примењује се у геометрији, теоријској физици, механици и примењеној механици. Због своје просте симболике ушао је као апарат у низ савремених техничких дисциплина.

Тулио Леви-Кивит и Грегорио Ричи-Курбастро популаризовали су тензоре 1900. године – настављајући ранији рад Бернхарда Римана и Елвина Бруна Кристофела и других – као део апсолутног диференцијалног рачуна. Концепт је омогућио алтернативну формулацију унутрашње диференцијалне геометрије многострукости у облику тензора Риманове закривљености.^[2]

Дефиниција

Формална дефиниција:

Тензор

(m,n)

у векторском простору

V

над пољем

F

је линеарно пресликавање

V\otimes ...\otimes V\otimes V^{*}\otimes ...\otimes V^{*}\longmapsto F

које за домен узима производ векторског простора

V

m

пута и

n

пута производ његовог дуалног векторског простора

V^{*}

. Простор свих тензора степена

(m,n)

је

T_{n}^{m}(V)

.

Дефиниција тензора при трансформацији полилинеарног функционала из једног у други базис.

Тензор

(p,q)

је полилинеарни функционал

\sum _{k,m,...}\sum _{t,u,...}\tau _{i}^{k}\tau _{j}^{m}\dots \sigma _{t}^{r}\sigma _{u}^{s}\dots a_{km...}^{tu...}

задат системом од

n^{p+q}

бројева, где су

\tau _{j}^{i}

и

\sigma _{j}^{i}

елементи матрица преласка

\mathbb {S}

и

\mathbb {T}

из биортогоналних базиса у нове базисе под условом да важи

\mathbb {S} ={\mathbb {T} }^{-1}

.^[3]

Генерализације

Тензорски производи векторских простора

Векторски простори тензорског производа не морају бити исти, а понекад се елементи таквог општијег тензорског производа називају „тензори“. На пример, елемент простора тензорског производа $V \otimes W$ је „тензор” другог реда у овом општијем смислу,^[4] а тензор реда- $d$ се такође може дефинисати као елемент тензорског производа од $d$ различитих векторских простора.^[5] Тензор типа $(n, m)$ , у смислу претходно дефинисаног, је такође тензор реда $n + m$ у овом општијем смислу. Концепт тензорског производа може се проширити на произвољне модуле преко прстена.

Историјски преглед

Реч тензор је 1846. године увео Вилијам Роуан Хамилтон и њиме је описао норму операције у Клифордовој алгебри.

Концепти касније тензорске анализе произашли су из рада Карла Фридриха Гауса у диференцијалној геометрији, а на формулацију је у великој мери утицала теорија алгебарских облика и инваријанти развијена средином деветнаестог века.^[6] Саму реч „тензор”" увео је 1846. године Вилијам Рован Хамилтон^[7] да би описао нешто другачије од онога што се сада подразумева под тензором.^{[Note 1]} Савремену употребу је увео Волдемар Војт 1898. године.^[8]

Тензорски рачун је око 1890. развио Грегорио Ричи-Курбастро под називом апсолутни диференцијални рачун, а првобитно га је представио Ричи-Курбастро 1892. године.^[9] Многим математичарима је постао доступан објављивањем класичног текста Ричи-Курбастра и Тулио Леви-Кивита из 1900. године с насловом Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Методе апсолутног диференцијалног рачуна и њихове примене).^[10]

У 20. веку, ова тема је постала позната као тензорска анализа, а остварила је шире прихватање увођењем Ајнштајнове теорије опште релативности, око 1915. Општа теорија релативности је у потпуности формулисана језиком тензора. Ајнштајн је о њима, уз потешкоће, сазнао од геометра Марсела Гросмана.^[11] Леви-Кивит је затим покренуо преписку са Ајнштајном како би кориговао грешке које је Ајнштајн направио у коришћењу тензорске анализе. Кореспонденција је трајала током 1915–17, а карактерисало ју је узајамно поштовање:

Дивим се елеганцији вашег метода рачунања; мора да је лепо јахати кроз ова поља на коњу праве математике док се особе попут мене морају мукотрпно пробијати пешке.
— Алберт Ајнштајн^[12]

Такође је утврђено да су тензори корисни у другим областима као што је механика континуума. Неки добро познати примери тензора у диференцијалној геометрији су квадратни облици као што су метрички тензори и Риманов тензор закривљености. Спољашња алгебра Хермана Грасмана, из средине деветнаестог века, је сама по себи тензорска теорија, и веома геометријска, али је прошло неко време пре него што је са теоријом диференцијалних форми виђена као природно уједињена са тензорским рачуном. Рад Ели Картана учинио је диференцијалне форме једном од основних врста тензора који се користе у математици.

Отприлике од 1920-их па надаље, схватило се да тензори играју основну улогу у алгебарској топологији (на пример у Кинетовој теореми).^[13] Сходно томе, постоје типови тензора са применом у многим гранама апстрактне алгебре, посебно у хомолошкој алгебри и теорији репрезентације. Мултилинеарна алгебра се може развити с већом генералности него што је то случај са скаларима који долазе из неког поља. На пример, скалари могу произаћи из прстена. Али теорија је тада мање геометријска, а прорачуни више технички и мање алгоритамски.^[14] Тензори су генерализовани у оквиру теорије категорија помоћу концепта моноидалне категорије, из 1960-их.^[15]

Примери

Тензор са са само једном компонентом је скалар и представља тензор ранга 0. Скалар је исти у свим базисима.

Напомене

^ Наиме, операција норме у векторском простору.

Референце

^ Скалари, вектори и тензори, Б. Готовац, В. Козулић, Н. Брајчић, М. Карачић^{[мртва веза]}, Приступљено 20.02.2014.
^ Kline, Morris (март 1990). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3. Oxford University Press, USA. ISBN 978-0-19-506137-6.
^ Векторски простори и елементи векторске анализе, Иванка Милошевић, Универзитет у Београду, 1997.
^ Maia, M. D. (2011). Geometry of the Fundamental Interactions: On Riemann's Legacy to High Energy Physics and Cosmology. Springer Science & Business Media. стр. 48. ISBN 978-1-4419-8273-5.
^ Hogben, Leslie, ур. (2013). Handbook of Linear Algebra, Second Edition (2nd изд.). CRC Press. стр. 15—7. ISBN 978-1-4665-0729-6.
^ Reich, Karin (1994). Die Entwicklung des Tensorkalküls. Science networks historical studies, v. 11. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-2814-6. OCLC 31468174.
^ Hamilton, William Rowan (1854—1855). Wilkins, David R., ур. „On some Extensions of Quaternions” (PDF). Philosophical Magazine (7–9): 492—499, 125—137, 261—269, 46—51, 280—290. ISSN 0302-7597. From p. 498: "And if we agree to call the square root (taken with a suitable sign) of this scalar product of two conjugate polynomes, P and KP, the common TENSOR of each, … "
^ Voigt, Woldemar (1898). Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [The fundamental physical properties of crystals in an elementary presentation]. Von Veit. стр. 20—. „Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nennen. [We therefore want [our presentation] to be based only on [the assumption that] conditions of the type described occur during stresses and strains of non-rigid bodies, and therefore call them "tensorial" but call the characteristic physical quantities for them "tensors".]”
^ Ricci Curbastro, G. (1892). „Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique”. Bulletin des Sciences Mathématiques. 2 (16): 167—189.
^ Ricci & Levi-Civita 1900.
^ Pais, Abraham (2005). Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280672-7.
^ Goodstein, Judith R. (1982). „The Italian Mathematicians of Relativity”. Centaurus. 26 (3): 241—261. Bibcode:1982Cent...26..241G. doi:10.1111/j.1600-0498.1982.tb00665.x.
^ Spanier, Edwin H. (6. 12. 2012). Algebraic Topology. Springer Science & Business Media. стр. 227. ISBN 978-1-4684-9322-1. „the Künneth formula expressing the homology of the tensor product...”
^ Hungerford, Thomas W. (14. 2. 2003). Algebra. Springer Science & Business Media. стр. 168. ISBN 978-0-387-90518-1. „...the classification (up to isomorphism) of modules over an arbitrary ring is quite difficult...”
^ MacLane, Saunders (11. 11. 2013). Categories for the Working Mathematician. Springer Science & Business Media. стр. 4. ISBN 978-1-4612-9839-7. „...for example the monoid M ... in the category of abelian groups, × is replaced by the usual tensor product...”

Литература

Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6.
Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e изд.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7. ^{[мртва веза]}
Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 978-1-4020-1015-6.
Jeevanjee, Nadir (2011). An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4714-8.
Lawden, D. F. (2003). Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology (3/e изд.). Dover. ISBN 978-0-486-42540-5.
Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J. (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
Lovelock, David; Rund, Hanno (1989) [1975]. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
Munkres, James R. (7. 7. 1997). Analysis On Manifolds. Avalon Publishing. ISBN 978-0-8133-4548-2. Chapter six gives a "from scratch" introduction to covariant tensors.
Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (март 1900). „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”. Mathematische Annalen. 54 (1–2): 125—201. S2CID 120009332. doi:10.1007/BF01454201.
Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-033484-7.
Schutz, Bernard F. (28. 1. 1980). Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29887-2.
Synge, John Lighton; Schild, Alfred (1969). Tensor Calculus. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-63612-2.

Спољашње везе

Weisstein, Eric W. „Тензор”. MathWorld.
Ray M. Bowen; C. C. Wang (1976). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 1: Linear and Multilinear Algebra. New York, NY.: Plenum Press. ISBN 9780306375088. hdl:1969.1/2502.
Ray M. Bowen; C. C. Wang (2006). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis. ISBN 9780306375095. hdl:1969.1/3609.
An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
Foundations of Tensor Analysis for Students of Physics and Engineering With an Introduction to the Theory of Relativity by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
A discussion of the various approaches to teaching tensors, and recommendations of textbooks
Sharipov, Ruslan (2004). „Quick introduction to tensor analysis”. arXiv:math.HO/0403252 .
Richard Feynman's lecture on tensors.

[8] Наиме, операција норме у векторском простору.

[1] Скалари, вектори и тензори, Б. Готовац, В. Козулић, Н. Брајчић, М. Карачић^{[мртва веза]}, Приступљено 20.02.2014.

[Kline-2] Kline, Morris (март 1990). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3. Oxford University Press, USA. ISBN 978-0-19-506137-6.

[3] Векторски простори и елементи векторске анализе, Иванка Милошевић, Универзитет у Београду, 1997.

[Maia2011-4] Maia, M. D. (2011). Geometry of the Fundamental Interactions: On Riemann's Legacy to High Energy Physics and Cosmology. Springer Science & Business Media. стр. 48. ISBN 978-1-4419-8273-5.

[Hogben2013-5] Hogben, Leslie, ур. (2013). Handbook of Linear Algebra, Second Edition (2nd изд.). CRC Press. стр. 15—7. ISBN 978-1-4665-0729-6.

[6] Reich, Karin (1994). Die Entwicklung des Tensorkalküls. Science networks historical studies, v. 11. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-2814-6. OCLC 31468174.

[7] Hamilton, William Rowan (1854—1855). Wilkins, David R., ур. „On some Extensions of Quaternions” (PDF). Philosophical Magazine (7–9): 492—499, 125—137, 261—269, 46—51, 280—290. ISSN 0302-7597. From p. 498: "And if we agree to call the square root (taken with a suitable sign) of this scalar product of two conjugate polynomes, P and KP, the common TENSOR of each, … "

[Voigt1898-9] Voigt, Woldemar (1898). Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [The fundamental physical properties of crystals in an elementary presentation]. Von Veit. стр. 20—. „Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nennen. [We therefore want [our presentation] to be based only on [the assumption that] conditions of the type described occur during stresses and strains of non-rigid bodies, and therefore call them "tensorial" but call the characteristic physical quantities for them "tensors".]”

[10] Ricci Curbastro, G. (1892). „Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique”. Bulletin des Sciences Mathématiques. 2 (16): 167—189.

[FOOTNOTERicciLevi-Civita1900-11] Ricci & Levi-Civita 1900.

[12] Pais, Abraham (2005). Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280672-7.

[Goodstein-13] Goodstein, Judith R. (1982). „The Italian Mathematicians of Relativity”. Centaurus. 26 (3): 241—261. Bibcode:1982Cent...26..241G. doi:10.1111/j.1600-0498.1982.tb00665.x.

[Spanier2012-14] Spanier, Edwin H. (6. 12. 2012). Algebraic Topology. Springer Science & Business Media. стр. 227. ISBN 978-1-4684-9322-1. „the Künneth formula expressing the homology of the tensor product...”

[Hungerford2003-15] Hungerford, Thomas W. (14. 2. 2003). Algebra. Springer Science & Business Media. стр. 168. ISBN 978-0-387-90518-1. „...the classification (up to isomorphism) of modules over an arbitrary ring is quite difficult...”

[MacLane2013-16] MacLane, Saunders (11. 11. 2013). Categories for the Working Mathematician. Springer Science & Business Media. стр. 4. ISBN 978-1-4612-9839-7. „...for example the monoid M ... in the category of abelian groups, × is replaced by the usual tensor product...”

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[Note 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]