Бирки је своју каријеру почео 2007. године као резервиста ФК Јанг Бојса. За ФК Тун је потписао 2009. године, а пола године касније прешао је у ФК Шафхаузен. У летњем прелазном року 2010. године вратио се у ФК Јанг Бојс, да би годину дана касније прешао у ФК Грасхопер. У почетку је био резервни голман али је касније постао и први голман свог тима. Био је на позајмици све док ФК Грасхопер није откупио његов уговор.
ФК Фрајбург
Са Фрајбургом је уговор потписао 24. маја 2014. године.[1]
У сезони 2014-15 наследио је Оливера Бојмана на голу свог тима.[2] Одиграо је 34 утакмице, али није успео да спречи испадање тима у другу лигу.
ФК Борусија Дортмунд
Са Борусијом је уговор потписао 14. јуна 2015. године.[3] Дебитовао је 15. августа 2015. године, у победи свог тима над Борусијом Мехенгладбах.[4] У 33 наступа за Борусију, несавладан је остао 12 пута.[5] У сезони 2016-17 забележио је 27 наступа, оставши несавладан 9 пута.[6]
У сезони 2017-18, постао је први голман који је остао несавладан у првих 5 кола Бундеслиге.[7]