У математици, полигонални број је број представљен у облику тачака или каменчића распоређених у облику правилног полигона. Тачке се сматрају алфама (јединицама). Ово је једна врста 2-димензионалних фигуралних бројева.
Неки бројеви, као 36, могу бити представљени и као квадрат и као троугао (види квадратни троугаони бројеви):
По конвенцији, 1 је први полигонални број за било који број страна. Правило за проширење полигона на следећу величину је да се продуже две суседне стране у једном тренутку и да затим додајете потребне додатне стране између тих тачака. У наредним дијаграмима, сваки додатни слој је приказан као црвени.
Троугаони бројеви
Квадратни бројеви
Полигонални бројеви са већим бројем страна, као што су пентагони и хексагони, могу такође бити конструисани према овом правилу, иако тачке неће формирати перфектно правилну решетку као горе.
Пентагонални бројеви
Хексагонални бројеви
Формула
Ако је ѕ број страна полигона, формула за nths-гонални број P(s,n) је
или
nths-гонални број је такође повезан са троугаоним бројем Tn на следећи начин:
Онда:
За дати ѕ-гонални број P(s,n) = x, можемо наћи n помоћу
Сваки хексагонални број је и троугаони број
Примена горенаведене формуле:
за случај од 6 страна добијамо:
али како је:
следи да је:
Ово показује да је хексагонални број, једнак троугаоном броју, . Можемо наћи сваки хексагонални број једноставним узимањем непарних троугаоних бројева:
1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...
Табела вредности
Првих 6 вредности у колони Збир реципрочних вредности, за троугаони до октагоналног броја, произлази из објављеног решења за општи проблем, који такође даје општу формулу за било који број страна, у темину дигама функције.[1]
Онлине Енциклопедија Целобројних Редова избегава термине користећи се грчким префиксима (нпр. „октагонални) уместо термина користећи бројеве (нпр. „8-гонални).
Својство ове табеле се може изразити наредним идентитетом (види A086270):
са
Комбинације
Неки бројеви, као што је 36 који су и квадратни и троугаони, спадају у два полигонална сета. Проблем утврђивања, с обзиром на два таква сета, сви бројеви који припадају и квадратним и троугаоним могу се решити смањењем проблема Пеловом једначином. Најједноставнији пример овога је ред квадратних троугаоних бројева.
Следећа табела сумира сет с-гоналних т-гоналних бројева за мале вредности с и т.
У неким случајевима, као када је с=10 и т=4, не постоје други бројеви у оба сета осим 1.
Проблем налажења бројева који припадају трима полигоналним сетовима је тежи. Компјутерско претраживање за пентагоналне квадратне троугаоне бројеве је избацило само тривијалну вредност 1, путем доказа да не постоје други бројеви који су се појавили у резултатима претраживања.[3]
Број 1225 је хекатоникоситетрагоналан (с=124), хексакотагоналан (с=60), икосиенегоналан (с=29), хексагоналан, квадратни и троугаони.
The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[Međunarodni standardni broj knjige|ISBN]] 978-0-14-026149-3.].