У теорији прстена, грани апстрактне алгебре, комутативни прстен је прстен у коме је операција множења комутативна. Ово значи да ако су a и b било која два елемента прстена, онда је a×b=b×a.

Проучавање комутативних прстена се назива комутативна алгебра.

Прстен је скуп опремљен са две бинарне операције, тј. операцијама које комбинују било која два елемента прстена у трећи. Зову се сабирање и множење и обично се означавају са „${\displaystyle +}$” и „${\displaystyle \cdot }$”; на пример ${\displaystyle a+b}$ и ${\displaystyle a\cdot b}$. Да би се формирао прстен, ове две операције морају да задовоље бројна својства: прстен мора бити абелова група под сабирањем, као и моноид под множењем, где се множење дистрибуира преко сабирања; тј. ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$. Елементи идентитета за сабирање и множење су означени са ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$.

Ако је множење комутативно, тј. $${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$$ тада се прстен ${\displaystyle R}$ назива комутативним. У остатку овог чланка, сви прстенови ће бити комутативни, осим ако је експлицитно другачије наведено.

Важан пример, и у неком смислу кључан, је прстен целих бројева ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ са две операције сабирања и множења. Пошто је множење целих бројева комутативна операција, ово је комутативни прстен. Обично се означава са ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ као скраћеница од немачке речи Zahlen (бројеви).

Поље је комутативни прстен где је ${\displaystyle 0\not =1}$ и сваки елемент ${\displaystyle a}$ који није нула је инверзибилан; тј. има мултипликативну инверзну вредност ${\displaystyle b}$ такву да је ${\displaystyle a\cdot b=1}$. Према томе, по дефиницији, било које поље је комутативни прстен. Рационални, реални и комплексни бројеви формирају поља.

Ако је ${\displaystyle R}$ дати комутативни прстен, онда скуп свих полинома у променљивој ${\displaystyle X}$ чији су коефицијенти у ${\displaystyle R}$ формира полиномски прстен, означен као ${\displaystyle R\left[X\right]}$. Исто важи и за неколико променљивих.

Ако је ${\displaystyle V}$ неки тополошки простор, на пример подскуп неког${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, континуалне функције реалне- или комплексне вредности на ${\displaystyle V}$ формирају комутативни прстен. Исто важи и за диференцијабилне или холоморфне функције, када су два концепта дефинисана, као што је ${\displaystyle V}$ комплексна многострукост.

За разлику од поља, где је сваки елемент различит од нуле мултипликативно инвертибилан, концепт дељивости за прстенове је богатији. Елемент ${\displaystyle a}$ прстена ${\displaystyle R}$ назива се јединица ако поседује мултипликативну инверзну вредност. Други посебан тип елемента су делиоци нуле, односно елемент ${\displaystyle a}$ прстена такав да постоји елемент прстена ${\displaystyle b}$ који није нула, при чему је ${\displaystyle ab=0}$. Ако ${\displaystyle R}$ не поседује делиоце нуле који нису нула, назива се интегрални домен (или домен). Елемент ${\displaystyle a}$ који задовољава ${\displaystyle a^{n}=0}$ за неки позитиван цео број ${\displaystyle n}$ се назива нилпотентним.

Локализација прстена је процес у коме се неки елементи претварају у инвертибилне, тј. у прстену се додају мултипликативни инверзи. Конкретно, ако је ${\displaystyle S}$ мултипликативно затворен подскуп од ${\displaystyle R}$ (тј. кад год ${\displaystyle s,t\in S}$ онда је и ${\displaystyle st}$) онда је локализација ${\displaystyle R}$ на ${\displaystyle S}$, или прстен разломака са имениоцима у ${\displaystyle S}$, који се обично означава ${\displaystyle S^{-1}R}$ састављен од симбола

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$ with ${\displaystyle r\in R,s\in S}$

подлежу одређеним правилима која опонашају поништавање познато из рационалних бројева. Заиста, на овом језику ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ је локализација ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ различита од нуле за све целе бројеве. Ова конструкција функционише за било који интегрални домен ${\displaystyle R}$ уместо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Локализација ${\displaystyle \left(R\backslash \left\{0\right\}\right)^{-1}R}$ је поље које се назива количник поља ${\displaystyle R}$.

• Најважнији пример је прстен целих бројева са операцијама сабирања и множења. Уобичајено множење целих бројева је комутативно. Прстен се обично обележава словом Z, од немачке речи Zahlen (бројеви).
• Рационални, реални и комплексни бројеви чине комутативне прстене; они су штавише поља.
• Општије, свако поље је комутативни прстен, па је класа поља поткласа класе комутативних прстенова.
• Прост пример некомутативног прстена је скуп свих матрица димензије 2-са-2 чији су елементи реални бројеви. На пример, множење матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

није једнако множењу изведеном супротним редоследом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.}$

• Ако је n позитиван цео број, тада скуп Z_n целих бројева по модулу n чини комутативни прстен са n елемената (види модуларна аритметика).
• Ако је R дати комутативни прстен, онда је скуп свих полинома променљиве X чији коефицијенти су из R гради нови комутативни прстен који се означава са R[X].

прстен се назива локалним ако има само један максимални идеал, означен са m. За било који (не нужно локални) прстен R, локализација

на простом идеалу p је локалнa. Ова локализација одражава геометријска својства Спец R „око p”. Неколико појмова и проблема у комутативној алгебри могу се свести на случај када је R локално, што локалне прстенове чини посебно дубоко проучаваном класом прстенова. Поље остатка R је дефинисано као

Било који R-модул M даје k-векторски простор дат са M / mM. Накајамина лема показује да овај пасус чува важне информације: коначно генерисани модул M је нула ако и само ако је M / mM нула.

k-векторски простор m/m² је алгебарска инкарнација котангенсног простора. Неформално, елементи од m се могу сматрати функцијама које нестају у тачки p, док m² садржи оне које нестају редоследом од најмање 2. За било који Нетеров локални прстен R, неједнакост

важи, одражавајући идеју да котангентни (или еквивалентно тангентни) простор има најмање димензију простора Спец R. Ако је једнакост истинита у овој процени, R се назива регуларним локалним прстеном. Нетеров локални прстен је правилан ако и само ако је прстен (који је прстен функција на тангентном конусу) $${\displaystyle \bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}}$$ изоморфан полиномском прстену над k. Уопштено говорећи, регуларни локални прстенови су донекле слични полиномским прстеновима.^[1] Уобичајени локални прстенови су УФД-ови.^[2]

Дискретни прстенови за вредновање су опремљени функцијом која додељује цео број било ком елементу r. Овај број, назван вредновање r, може се неформално сматрати нултим или полним редом r. Дискретни вредносни прстенови су управо једнодимензионални регуларни локални прстенови. На пример, прстен клица холоморфних функција на Римановој површини је дискретни вредносни прстен.

По Круловој главној теореми идеала, темељном резултату теорије димензија прстенова, димензија

је најмање r − n. Прстен R се назива комплетним пресечним прстеном ако се може представити на начин који постиже ову минималну границу. Овај појам се такође углавном проучава за локалне прстенове. Сваки регуларни локални прстен је комплетан пресечни прстен, али не и обрнуто.

Прстен R је потпуни пресек у теорији скупова ако је редуковани прстен придружен R, тј. онај добијен дељењем свих нилпотентних елемената, потпуни пресек. Према подацима из 2017. године, генерално је непознато да ли су криве у тродимензионалном простору потпуни пресеци теоријских скупова.^[3]

Дубина локалног прстена R је број елемената у неком (или, како се може показати, било ком) максималном регуларном низу, тј. низу a₁, ..., a_n ∈ m тако да су сви a_i делиоци различити од нуле у

За било који локални Нетеров прстен, важи неједнакост

Локални прстен у коме се остварује једнакост назива се Коен–Маколејев прстен. Локални комплетни пресечни прстенови, и а фортиори, регуларни локални прстенови су Коен–Маколеј, али не и обрнуто. Кохен–Макалеј комбинује пожељна својства регуларних прстенова (као што је особина да буду универзални ланчани прстенови, што значи да се (ко)димензија простих бројева добро понаша), али су такође робустнији у узимању количника од регуларних локалних прстенова.^[4]

Медији везани за чланак Комутативни прстен на Викимедијиној остави