У математици, гама-функција је функција дефинисана несвојственим интегралом:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt.}$

Из парцијалне интеграције и израчунавања интеграла за ${\displaystyle z=1}$, добија се израз

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n!}$

који проширује појам факторијелa^[1] на комплексне бројеве.^[2]

Гама-функција ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ дефинисана је несвојственим интегралом^[3][4] за комплексне бројеве ${\displaystyle z\,}$ за које је ${\displaystyle \Re (z)>0}$ на следећи начин:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt.}$

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције ${\displaystyle e^{-t}\,}$. Парцијалним интеграљењем се показује следеће њено основно својство:

${\displaystyle \,\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}$

Како је ${\displaystyle \Gamma (1)=1\,}$, комбиновањем ове и претходне релације добија се:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot \Gamma (1)=n!,}$

за све природне бројеве n.

Са друге стране, формулисана у облику

${\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z\,}$,

она даје аналитичко продужење почетно дефинисаној ${\displaystyle \Gamma \,}$-функцији до полуравни ${\displaystyle \Re (z)>-1}$, са полом у ${\displaystyle z=0\,}$, затим до полуравни ${\displaystyle \Re (z)>-2}$, са још једним полом у ${\displaystyle z=-1\,}$, итд. Тако се ${\displaystyle \Gamma \,}$-функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве ${\displaystyle z\,}$ осим полова у непозитивним целим бројевима ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots \ }$ Под ${\displaystyle \Gamma \,}$-функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.

Гама-функција није елементарна функција, али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са факторијелом и примене у теорији бројева. Међу најважнијима особинама Гама-функције су функционална једначина

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}}$

и Лежандрова дупликациона формула

${\displaystyle \Gamma (2z)={\frac {2^{2z-1}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right).}$

Гама-функција нема нула. У тачкама ${\displaystyle z=-n\,}$, где је ${\displaystyle n\,}$ ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком ${\displaystyle (-1)^{n}/n!\,}$; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике ${\displaystyle |z|\,}$, вредности ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

${\displaystyle \Gamma (z)=z^{z-1/2}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}+\mathrm {O} \left({\frac {1}{z^{3}}}\right)\right)}$

За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције ${\displaystyle 1/\Gamma (z)\,}$, која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}}.}$

Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$, што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},}$

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за ${\displaystyle \Gamma (1/n)\,}$ (${\displaystyle n>2\,}$). За ${\displaystyle \Gamma (1/3)\,}$ и ${\displaystyle \Gamma (1/4)\,}$ је познато да су трансцендентни, као и ${\displaystyle \Gamma (1/2)\,}$. Такође, ${\displaystyle \Gamma '(1)=-\gamma \,}$.

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке ${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,}$ и ${\displaystyle \pi (z)=1/\Pi (z)\,}$. Тако је ${\displaystyle \Pi (n)=n!\,}$, док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

${\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz-{\frac {1}{2}}}}{(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right).}$

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

У интегралу којим се дефинише ${\displaystyle \Gamma \,}$-функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види још Риманова зета-функција.

Комплексне вредности гама функције могу се израчунати нумерички са произвољном прецизношћу користећи Стирлингову апроксимацију или Ланцошову апроксимацију.

Гама функција се може израчунати са фиксном прецизношћу за ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$ применом парцијалне интеграције у Ојлеровом интегралу. За било који позитивни број x може се написати гама функција

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$

Кад је Re(z) ∈ [1,2] и ${\displaystyle x\geq 1}$, апсолутна вредност задњег интеграла је мања од ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$. Одабиром довољно великог ${\displaystyle x}$, овај последњи израз може се учинити мањим од ${\displaystyle 2^{-N}}$ за било коју жељену вредност ${\displaystyle N}$. Тако се гама функција може проценити на ${\displaystyle N}$ бита прецизности са горенаведеном серијом.

Е.А. Каратсуба је конструисао брз алгоритам за израчунавање Ојлерове гама функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационални).^[5][6][7]

За аргументе који су целобројни умношци од 1/24, гама функција се такође може брзо проценити коришћењем аритметичко-геометријских средњих вредности итерација (погледајте посебне вредности гама функције и Borwein & Zucker (1992) harv грешка: no target: CITEREFBorweinZucker1992 (help)).

Један аутор описује гама функцију као „Аргументирано, најчешћу специјалну функцију, или најмање 'посебну' од њих. Друге трансценденталне функције […] називају се 'посебне', јер бисте неке од њих могли избећи држањем подаље од многих специјализованих математичких тема. Са друге стране, гама функцију y = Γ(x) је најтеже избећи.”^[8]

• бета-функција
• хипергеометријска функција.

• NIST Digital Library of Mathematical Functions:Gamma function
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• C++ reference for std::tgamma
• Examples of problems involving the gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Gamma function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• „Gamma”. Wolfram Functions Site. 
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages