Рођен је у Прокупљу у кући оца земљорадника Крсте (1892—1968) и мајке домаћице Видосаве (1896—1971). По завршетку основне школе, 1947. године, почиње самоук да свира кларинет. Долази у Београд1950. године, где дипломира и магистрира кларинет на Музичкој академији у класи професора Брун Бруна.[1] Уједно је и радио у Народном оркестру Радио-телевизије Београд, који је водио Властимир Павловић Царевац.[2] Од 1950. године почиње његова успешна музичка каријера. Студирао је енглески језик на Филозофском факултету у Београду, а исте 1950. године у Музичкој школи Јосип Славенски у Београду, код професора Фрање Партлића, полаже први разред припремне наставе и аутоматски уписује други разред. Постаје члан секстета Душка Радетића, од његовог оснивања 1951. године у Радио Београду. Музички уредник Радио Београда, Ђорђе Караклајић, 1951. оснива Велики народни оркестар РТБ (и бива његов први диригент) који је на сериозни начин обрађивао југословенске народне мелодије. Оркестром су дириговали и Душан Сковран, ректор Музичке академије у Београду, и Ђура Јакшић, директор Музичке школе Јосип Славенски у Београду. Божидар Милошевић свирао је и у том оркестру редовно. Од 1952. до 1956. године школовао се у Средњој музичкој школи Јосип Славенски . У периоду од 1955—1958. године свирао је и у Гудачком оркестру РТБ под управом Илије Генића—Баћка.
У периоду од 1956 – 1960. студирао је на Музичкој академији у Београду са првом генерацијом кларинетиста (Ернест Ачкун, Михаило Живановић, Миленко Стефановић) у класи реномираног професора Бруно Бруна. Након тога уписује магистарске студије, 1960. године, а завршава их 1963. године. Бавио се педагошким радом, ради као професор кларинета у Музичкој школи Јосип Славенски, која је била при Музичкој академији у Београду. Од 1966. године прелази у Београдску филхармонију где бива њен члан и солиста.
После погибије виолинисте Миодрага Радета Јашаревића, Божидар Милошевић 1976. године постаје шеф већ чувеног Народног оркестра Радио—телевизије Београд и ту ради све до пензионисања, 1980. године. Био је 30 година инструментални солиста овог оркестра.
Као солиста, извођач, имао је турнеје и концерте по целом свету. Педесетих година наступао је у Израелу, у Лондону, Бечу, Берлину, у Сједињеним Државама, у Колумбији, Гватемали, Канади и Мексику. Током турнеје у Совјетском савезу 1971. године компонује Влашку олују.[7]
Награде и фестивали
Трећа награда на Омладинском такмичењу кларинетиста у Љубљани, 1956.
Специјална награда на такмичењу младих уметника Југославије (класична музика), Загреб, 1959.
Орден рада са сребрним венцем за изузетне доприносе у ширењу музичке културе од председника Јосипа Броза Тита, 1971.
Оскар популарности 1999. године, Радио Тв Ревија (2001, 2005, 2006. и 2008).
Награда Виктор ("Јесењин") за најбољег инструменталисту, 2002. и 2003. године РТВ Нови Сад.
Мелко (17 узастопних година, почев од 1981.), најбољи инструменталиста у народној музици, Удружење народне и забавне музике, Београд.[8]
Статус изузетног уметника, Савез народне и забавне музике, Београд.
Признање за неговање музичке баштине Срба, клуб Југословена Њујорк—Чикаго, јуна 1994. године
Награда Маестро интернационал, 2008, додељује Међународни Музички центар Београда.
Удружење за неговање традиције и очување баштине Ниша Стари Ниш – Европа концерт Ниш додељују Мајсторско писмо за животно дело Божидару Милошевићу, за изузетан и свеукупан * допринос очување српске традиције и културе и неговање изворне песме и музике српског народа, 5. децембар2008. године.[4]
Златни беочуг за трајни допринос култури Београда, 26. јануар2000. године од Културно-просветне заједнице Београда.
Прва награда на Београдском сабору 1972. године, са композицијом Чуново оро.
Интернационални музички фестивал кларинетиста у Тунису, јуна1973. године у конкуренцији кларинетиста из целог света (учествовало је 25 нација), својом композицијом Коштанин мекам чочек осваја прву награду. Награду му је лично уручио председник Туниса, Хабиб Бургиба.
Фестивал у Сарајеву, Илиџа 1973. године композицијом Коштанин мекам чочек, осваја прву награду.
Фестивал Илиџа 1974, композицијом Пастирска балада, постаје троструки победник: Прва награда за композицију, аранжман и извођење.
Београдски сабор 1974, композицијом Оријентална елегија осваја прву награду.
Фестивал народне музике у Паризу1975. године, са композицијом Зов са планине осваја прву награду стручног жирија.
Београдски сабор 1975, композицијом Радивоја ЛазићаЂачко оро осваја прву награду.
Естрадно-музичка награда за животно дело Савеза естрадно-музичких уметника Србије, 2017.