Algebarska geometrija

Ova Toglijatijeva površina je algebarska površina petog stepena. Slika predstavlja porciju njenog realnog lokusa.

Algebarska geometrija je grana matematike koja kombinuje tehnike apstraktne algebre, posebno komutativne algebre, sa jezikom i problematikom geometrije. Ona ima važno mesto u današnjoj matematici i ima brojne konceptualne veze sa različitim poljima kao što su kompleksna analiza, topologija i teorija brojeva. Algebarska geometrija je grana matematike koja klasično studira nulе multivarijantnih polinoma. Savremena algebarska geometrija zasniva se na korišćenju apstraktnih algebarskih tehnika, uglavnom iz komutativne algebre, za rešavanje geometrijskih problema oko ovih skupova nula.

Fundamentalni predmeti proučavanja algebarske geometrije su algebarski varijeteti, koji su geometrijske manifestacije rešenja sistema polinomskih jednačina. Primeri najproučenijih klasa algebarskih varijeteta su: ravne algebarske krive, koje uključuju linije, krugove, parabole, elipse, hiperbole, kubne krive poput eliptičkih krivih, i krive četvrtog stepena poput lemniskata i Kasinijevih ovala. Tačka ravni pripada algebarskoj krivoj ako njene koordinate zadovoljavaju zadatu polinomsku jednačinu. Osnovna pitanja uključuju proučavanje tačaka od posebnog interesa poput singularnih tačaka, tačaka inflekcije i tačaka u beskonačnosti. Naprednija pitanja uključuju topologiju krive i odnose između krivih date različitim jednačinama.

Algebarska geometrija zauzima centralno mesto u modernoj matematici i ima višestruke konceptualne veze sa tako raznovrsnim poljima kao što su kompleksna analiza, topologija i teorija brojeva. Prvobitno proučavanje sistema polinomnih jednačina sa nekoliko promenljivih, predmeta algebarske geometrije započinje tamo gde rešavanje jednačina prestaje, i postaje još važnije razumevanje unutrašnjih svojstava celokupnosti rešenja sistema jednačina, nego pronalaženje specifičnog rešenja; ovo vodi u neke od najdubljih oblasti u celoj matematici, konceptualno i u pogledu tehnike.

U 20. veku algebarska geometrija јe podelјена na nekoliko podpodručja.

Veliki deo razvoja algebarske geometrije u 20. veku odvijao se u apstraktnom algebarskom okviru, pri čemu je sve veći naglasak stavljen na „unutrašnja” svojstva algebarskih varijeteta koja ne zavise od određenog načina ugrađivanja varijeteta u ambijentni koordinatni prostor; ovo paralelno prati razvoj topologije, diferencijalne i kompleksne geometrije. Jedno ključno dostignuće ove apstraktne algebarske geometrije je Grotendikova teorija šema koja omogućava upotrebu teorije snopova za proučavanje algebrskih varijeteta na način koji je vrlo sličan po svojoj upotrebi proučavanju diferencijalnih i analitičkih mnogostrukosti. To se dobija proširivanjem pojma tačke: U klasičnoj algebarskoj geometriji može se identifikovati tačka afinog varijeteta, kroz Hilbertovu teoremu nula, sa maksimalnim idealom koordinatnog prstena, dok su tačke korespondirajuće afine šeme svi glavni ideali tog prstena. To znači da tačka takve šeme može biti bilo uobičajena tačka ili podvarijanta. Ovaj pristup takođe omogućava objedinjavanje jezika i alata klasične algebarske geometrije, koji se uglavnom tiču kompleksnih tačaka, i teorije algebarskih brojeva. Dokaz Vilesa o dugogodišnjoj pretpostavci zvanoj Fermatova poslednja teorema primer je moći ovog pristupa.

Aplikacije

Algebarska geometrija sada pronalazi primenu u statistici,[1] teoriji upravljanja,[2][3] robotici,[4] kodu za korigovanje grešaka,[5] filogenetici[6] i geometrijskom modelovanju.[7] Takođe postoje veze sa teorijom stringova,[8] teorijom igara,[9] podudaranja grafova,[10] solitonima[11] i celobrojnim programiranjem.[12]

Reference

  1. ^ Drton, Mathias; Sturmfels, Bernd; Sullivant, Seth (2009). Lectures on Algebraic Statistics. Springer. ISBN 978-3-7643-8904-8. 
  2. ^ Falb, Peter (1990). Methods of Algebraic Geometry in Control Theory Part II Multivariable Linear Systems and Projective Algebraic Geometry. Springer. ISBN 978-0-8176-4113-9. 
  3. ^ Allen Tannenbaum (1982), Invariance and Systems Theory: Algebraic and Geometric Aspects, Lecture Notes in Mathematics, volume 845, Springer-Verlag. ISBN 9783540105657.
  4. ^ Selig, J.M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics. Springer. ISBN 978-0-387-20874-9. 
  5. ^ Tsfasman, Michael A.; Vlăduț, Serge G.; Nogin, Dmitry (1990). Algebraic Geometric Codes Basic Notions. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7520-9. 
  6. ^ Barry Arthur Cipra (2007), Algebraic Geometers See Ideal Approach to Biology Архивирано 2016-03-03 на сајту Wayback Machine, SIAM News, Volume 40, Number 6
  7. ^ Jüttler, Bert; Piene, Ragni (2007). Geometric Modeling and Algebraic Geometry. Springer. ISBN 978-3-540-72185-7. 
  8. ^ Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999). Mirror Symmetry and Algebraic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2127-5. 
  9. ^ Blume, L. E.; Zame, W. R. (1994). „The algebraic geometry of perfect and sequential equilibrium” (PDF). Econometrica. 62 (4): 783—794. JSTOR 2951732. Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г. Приступљено 19. 11. 2019. 
  10. ^ Kenyon, Richard; Okounkov, Andrei; Sheffield, Scott (2003). „Dimers and Amoebae”. arXiv:math-ph/0311005 Слободан приступ. 
  11. ^ Fordy, Allan P. (1990). Soliton Theory A Survey of Results. Manchester University Press. ISBN 978-0-7190-1491-8. 
  12. ^ Cox, David A.; Sturmfels, Bernd. Manocha, Dinesh N., ур. Applications of Computational Algebraic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6758-7. 

Literatura

Spoljašnje veze

Algebarska geometrija на Викимедијиној остави.