Попут функција тригонометријске кружнице дефинишу се и функције јединичне једнакостраничне хиперболе На слици десно је са u означена двострука сенчена површина. Тачка налази се на пресеку хиперболе и праве ОЕ. Сенчена површина ОАЕ, рекли смо да износи u/2, може се разумети као разлика површина троугла OBE и теменог одсечка ABE хиперболе, где је OB=x, BE=y.
Теорема 1
(а) Двострука површина
(б)
(в)
Доказ
(а) Сама сенчена површина са слике
Помножимо добијену једнакост са два. (б) Из (а) израчунајмо инверзно Уведимо ново име (в) Ставимо тачка Е је и даље на хиперболи, па сменом х из (б) добијамо, па након сређивања Затим уведимо ново име Крај доказа 1.
У истој теореми (1) функција u(x) из првог тврђења (а) је инверзна функциј и x(u), tj. cosh(u), из (б). И обрнуто. Зато се инверзне хиперболичке функције зову ареа-функције, по латинској речи area - површина.[7][8][9]
Аналогије са тригонометријском кружницом су следеће:
Прво, под централним углом φ види се лук тригонометријске кружнице дужине φ. То је сенчени угао АОЕ на истој слици. Пројекција пресека горњег крака АЕ са (плавом) кружницом на апсцису је х, тј. косинус угла φ. Инверзна функција косинусу је лук, па се инверзне тригонометријске функције зову аркус-функције, по латинској речи arkus - лук.
Друго, двострука површина исечка централног угла φ (у радијанима) тригонометријске кружнице износи такође φ. Наиме, површина кружног исечка је уопште па како је r = 1 добијамо Међутим, ова особина обичних тригонометријских функција је ретко у употреби.
Коначно, једине фундаменталне функције тригонометрија су синус и косинус. Помоћу те две дефинишемо преостале четири: тангенс, котангенс, секанс и косеканс, као што је већ урађено на почетку дефиниција. Други начин да те четири функције дефинишемо је иста слика. Из тачке 1 апсцисе (на слици тачка А) повучемо паралелу са ординатом до пресека F са краком угла ОЕ. Затим из тачке 1 ординате (на слици тачка H) повучемо паралелу са апсцисом до пресека D са краком угла ОЕ. Угао АОЕ је φ.
Теорема 2
(а)(б)
Доказ
На истој претходној слици тригонометријске хиперболе имамо (а) сличне троуглове , па је тј. јер је АО = 1, па следи (а); (б) из сличности јер па важи пропорција тј. jer je HO = 1, па следи (б). Крај доказа 2.
У тачки Е хиперболе поставимо тангенту (t). Тангента t сече апсцису у тачки Т. Угао између апсцисе (оса О-A-B-С претходне слике) и тангенте је α. Продужетак тангенте доле, сече ординату, на слици десно у тачки М, која се не види на претходној слици.
Теорема 3
(а)
(б)
(в)
Доказ
Тангента хиперболе у тачки Е одређена је изразом
Отуда је чиме је доказано (а). Из сличности троуглова
следи а отуда
Због биће Тиме је доказано (б).
Коначно, из сличности троуглова следи а одатле дакле, Тиме је доказано (в). Крај доказа 3.
Представљање редовима
Развојем хиперболичке функције у Тејлоров ред добијамо:
Тригонометријска веза
Хиперболичке функције се могу дефинисати и помоћу обичних тригонометријских:
Дефиниције диференцијалних једначина
Хиперболичне функције се могу дефинисати као решења диференцијалних једначина: Хиперболични sine и cosine су јединствена решења (s, c) система
таквог да је
s(0) = 0 и c(0) = 1.
Оне су исто тако јединствена решења једначине f ″(x) = f (x),
такве да је f (0) = 1, f ′(0) = 0 за хиперболични косинус, и f (0) = 0, f ′(0) = 1 за хиперболични синус
Горње дефиниције су повезане са експоненцијалним дефиницијама путем Ојлерове формуле. (Погледајте „Хиперболичне функције за комплексне бројеве” испод.)
Особине
Многе формуле хиперболичких функција су сличне одговарајућим формулама обичне тригонометрије:
Како је то је прва функција парна, а друга непарна. Граф прве је осно симетричан (ордината, у-оса је оса симетрије), граф друге је централно симетричан (исходиште, тачка О је центар симетрије), као што се види на сликама доле.
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics, Wiley, стр. 73, ISBN9780470630563, „It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves.”
Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, ISBN978-0-88385-354-2
BazègaProvinsiLetak di Burkina FasoNegara Burkina FasoRegionRegion Centre-SudIbu kotaKombissiriLuas • Total1,530 sq mi (3.963 km2)Populasi (2006) • Total238.202Zona waktuUTC+0 (GMT 0) Provinsi Bazèga adalah sebuah provinsi di Burkina Faso dan di Region Centre-Sud. Ibu kota provinsi ini berada di Kombissiri. Pada tahun 2006, provinsi ini memiliki jumlah penduduk sebesar 238.202 jiwa.[1] Pada tahun 2011, provinsi ini terdiri dari 187 se...
العلاقات الدومينيكية الصربية دومينيكا صربيا دومينيكا صربيا تعديل مصدري - تعديل العلاقات الدومينيكية الصربية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين دومينيكا وصربيا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقا...
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Best of Acoustic Jethro Tull – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2016) (Learn how and when to remove this template message) 2007 greatest hits album by Jethro TullThe Best Of AcousticGreatest hits album by Jethro TullReleasedJanuary...
2009 novel by Paolo Bacigalupi This article's plot summary may be too long or excessively detailed. Please help improve it by removing unnecessary details and making it more concise. (November 2015) (Learn how and when to remove this template message) The Windup Girl Hardcover editionAuthorPaolo BacigalupiCover artistRaphael LacosteCountryUnited StatesLanguageEnglishGenreScience fiction, BiopunkPublisherNight Shade BooksPublication dateSeptember 1, 2009Media typePrint (Hardback &...
Nida Ria Vol. 10: Kaya Miskin Tiada BerbedaAlbum studio karya Nida RiaDirilis30 November 1995GenreQasidahLabelPuspita RecordsKronologi Nida Ria Dosa yang Tiada TerasaString Module Error: Match not foundString Module Error: Match not found Kaya Miskin Tiada Berbeda Syafa'at Nabi MuhammadString Module Error: Match not foundString Module Error: Match not found Kaya Miskin Tiada Berbeda adalah sebuah album Qasidah volume ke-10 milik grup musik Nida Ria yang dirilis tahun 1995. Daftar lagu Kay...
This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Oxford High School Massachusetts – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2024) (Learn how and when to remove this template message)Public school in Oxford, Massachusetts, United StatesOxford High SchoolView of Oxford High School in 2016.Location100 Carbuncle DriveOxford, Massachusetts 0...
1979 novel by Satyajit Ray Hatyapuri (The House Of Death) Hatyapuri book cover.AuthorSatyajit RayCountryIndiaLanguageBengaliGenreDetective short storyPublisherAnanda PublishersPublication date1979Media typePrintPreceded byChhinnamastar Abhishap Followed byGolokdham Rahasya Hatyapuri (English title : The House Of Death) is a crime novel by Satyajit Ray.[1] It gets its title from Puri, a city located on the shores of the Bay of Bengal which is a popular to...
This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Screen Award for Best Actor Popular Choice – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2015) (Learn how and when to remove this message) The Screen Award for Best Actor - Popular Choice has been introduced in 2009 during the Screen Awards. Unlike the Screen Award f...
This article may rely excessively on sources too closely associated with the subject, potentially preventing the article from being verifiable and neutral. Please help improve it by replacing them with more appropriate citations to reliable, independent, third-party sources. (December 2019) (Learn how and when to remove this message) Football tournament season 2019–20 Turkish CupZiraat Turkish CupTournament detailsCountryTurkeyDates28 August 2019 –29 July 2020Teams160Final positionsChampi...
French football midfielder Ulrick Chavas Chavas playing for FC Martigues in 2011Personal informationDate of birth (1980-10-17) 17 October 1980 (age 43)Place of birth Firminy, FranceHeight 1.74 m (5 ft 9 in)Position(s) MidfielderSenior career*Years Team Apps (Gls)2002–2004 Toulouse 8 (0)2003–2004 → FC Sète (loan) 16 (4)2004–2007 Nîmes 84 (8)2007–2009 Vannes 40 (1)2009–2010 AS Moulins 26 (0)2010–2012 FC Martigues 61 (8)2012–2013 ES Uzès Pont du Gard 18 (0)...
Luigi EinaudiRitratto ufficiale, 1948 2º Presidente della Repubblica ItalianaDurata mandato12 maggio 1948 –11 maggio 1955 Capo del governoAlcide De GasperiGiuseppe PellaAmintore FanfaniMario Scelba PredecessoreEnrico De Nicola SuccessoreGiovanni Gronchi Ministro del bilancioDurata mandato6 giugno 1947 –24 maggio 1948 PresidenteAlcide De Gasperi SuccessoreGiuseppe Pella Vicepresidente del Consiglio dei ministriDurata mandato1º giugno 1947 –24 m...
Cet article est une ébauche concernant Mars. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Pour les articles homonymes, voir Endeavour. Endeavour Le cratère photographié le 7 mars 2009 par Mars Reconnaissance Orbiter.Très nettement visibles à gauche, les remparts explorés à partir de 2011 par le rover Opportunity. Géographie et géologie Coordonnées 2° 28′ 00″ S, 5° 23′...
New York City, the world's principal financial center[1][2] and the epicenter of the principal American metropolitan economy[3] Further information: Technological and industrial history of the United States This article is part of a series on theEconomy of theUnited States Economic history Agricultural history Banking history Petroleum history Shipbuilding Industrial Revolution in the United States History of the United States dollar Lumber history Tariff History Unit...
County in Iowa, United States For other uses, see Webster County. Not to be confused with Webster, Iowa. County in IowaWebster CountyCountyThe courthouse in Fort Dodge is on the NRHP.Location within the U.S. state of IowaIowa's location within the U.S.Coordinates: 42°25′34″N 94°11′19″W / 42.426111111111°N 94.188611111111°W / 42.426111111111; -94.188611111111Country United StatesState IowaFoundedJanuary 15, 1851Named forDaniel WebsterSeatFort Dodge...
Biblioteca MarucellianaLa facciata su via CavourUbicazioneStato Italia Regione Toscana Città Firenze IndirizzoVia Cavour, 43-47 CaratteristicheTipoBiblioteca pubblica statale di livello non dirigenziale ISILIT-FI0101 Numero operemanoscritti: 2 927 legati, 69 345 carte sciolte; 1 000 000 tra volumi e opuscoli a stampa, di cui 500 incunaboli e 7 995 cinquecentine; 53 000 stampe; 3 200 disegni; 9 000 libretti di melodrammi; 10 065 testate d...
Muffin InggrisSepotong muffin InggrisNama lainMuffin sarapanJenisRotiSajianRotiTempat asalAmerika SerikatBahan utamatepung gandum, shortening, susu, gula, ragiSunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Media: Muffin Inggris Muffin Inggris adalah sebuah roti berragi datar, bundar dan kecil yang umum dipotong horizontal, dipanggang, dan diberi mentega.[1] Muffin Inggris panggang, yang sering dipakai di Amerika Serikat sebagai sarapan, disajikan deng...
Mixed martial arts event in 2022 UFC on ESPN: Font vs. VeraThe poster for UFC on ESPN: Font vs. VeraInformationPromotionUltimate Fighting ChampionshipDateApril 30, 2022 (2022-04-30)VenueUFC ApexCityEnterprise, Nevada, United StatesAttendanceNot announced[1]Event chronology UFC Fight Night: Lemos vs. Andrade UFC on ESPN: Font vs. Vera UFC 274: Oliveira vs. Gaethje UFC on ESPN: Font vs. Vera (also known as UFC on ESPN 35 and UFC Vegas 53) was a mixed martial arts event pr...