Нека математичка мапирања са једним линеарним параметром показују наизглед насумично понашање познато као хаос када се параметар налази у оквиру одређених опсега. Како се параметар повећава ка овом региону, мапирање је подвргнуто бифуркацијама за одређене вредности параметра. У почетку, постоји једна стабилна тачка, затим се због бифуркације јавља осцилација између две вредности, па се опет због бифуркације јавља осцилација између четири вредности итд. Године 1975, др. Фајгенбаум је открио, користећи мали HP-65 рачунар, да однос разлика између вредности при којима се дешавају такве узастопне бифуркације са дуплирањем периода тежи константи око 4.6692... Тада је био у могућности да пружи математички доказ за ту чињеницу, а онда је доказао да би се исто понашање, са истом математичком константом, јавило и у оквиру широке класе математичких функција, пре него што наступи хаос. Овај универзални резултат је први пут омогућио математичарима да начине прве кораке у откривању наизглед неконтролисаног „насумичног” понашања хаотичких система. Овај „однос конвергенције” је сада познат као прва Фајгенбаумова константа.
Логистичка мапа је познат пример мапирања која је Фајгенбаум проучавао у свом чланку из 1978. године: Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations. Фајгенбаумови остали доприноси укључују важне нове фракталне методе у картографији.
