Бјарнасон је почео да тренира фудбалу још као дечак у клубовима из родног града, а професионалну каријеру започиње у Норвешкој где су се његови родитељи преселили 1999. године. У лето 2005. прелази у омладински погон Викинга из Ставангера, екипе за чији први тим дебитује већ наредне сезоне. Сезону 2008. је провео као позајмљен играч у екипи Боде/Глимта. По повратку са позајмице још три сезоне је играо за екипу Викинга, пре него што јеу јануару 2012. променио средину и потписао петогодишњи уговор са белгијским Стандардом из Лијежа.
Међутим како није успео да се избори за статус првотимца у белгијском тиму, свега шест месеци након доласка у клуб, одлази на једногодишњу појазмицу у италијанску Пескару са којом по истеку уговора о позајмици потписује и уговор. У Италији остаје још две сезоне, а потом одлази у Швајцарску и потписује трогодишњи уговор са екипом Базела.
За две сезоне проведене у Базелу, са клубом је освојио две титуле националног првака и један трофеј националног купа.
Током јануара 2017. потписује троипогодишњи уговор са енглеским премијерлигашемАстон Вилом вредан око 2 милиона евра.
Репрезентативна каријера
Пре дебија у сениорском тиму, Бјарнасон је играо за све млађе репрезентативне селекције Исланда. За сениорску репрезентацију Исланда дебитовао је 29. маја 2010. у пријатељској утакмици са селекцијом Андоре, док је први погодак постигао две године касније у поразу од Француске 2:3 у пријатељском сусрету.
Прво велико такмичење на ком је наступио било је Европско првенство 2016. у Француској. Бјарнасон је на том првенству постигао два гола, укључујући и први погодак Исланда у историји на великим такмичењима, који је постигао на првој утакмици са Португалијом.
