Године 2012. позвао га је аустријски БундеслигашРапид Беч који је освојио највише титула аустријског шампиона (32) и после недељу дана пробног периода потписао је уговор. Најпре је играо у омладинском и резервном тиму клуба, у трећој лиги, а потом је прошао у сениорски тим. За први тим је дебитовао са 18 година 11. маја 2016, почевши утакмицу код куће против Алтаха, резултат уталмице 1 : 1.[3] То му је била једина утакмица у дресу Рапида.
Мезекевешд
Дана 1. јула 2017. године потписао је трогодишњи уговор са Мезокевешдом.[4] За две сезоне у мађарској првој лиги, на 45 утакмица је постигао два гола за клуб.
Аполон Лимасол
Дана 1. јула 2019. године потписао је четворогодишњи уговор са кипарским тимом Аполон Лимасол.[5]
У кипарском тиму дебитовао је као замена на полувремену у квалификационој утакмици за Лигу Европе УЕФА против Кауно Жалгириса, где је његов тим победио са 2 : 0 11. јула 2019. Такође је постигао и свој први гол у свом новом тиму у реванш мечу тог дуела 18. јула .2019. године
Поред осталих клубова у новембру 2020. турски клуб Галатасарај је показао интересовање за њега.[6]
Фенербахче
Дана 17. јануара 2021. Салаи је потписао уговор на четири и по године са Фенербахчеом[7] Дана 25. јануара 2021. дебитовао је за Фенербахче у утакмици Супер лиге против Кајзериспора на Улкер арени. У овој утакмици је Фенербахче је победио са 3 : 0.[8]
Дана 8. марта 2021. постигао је свој први гол у Суперлиги против Коњаспора на стадиону Коња Бујукшехир у 29. колу сезоне Супер лиге у сезони 2020/21. Фенербахче је опет победио са 3 : 0.[9]
Дана 28. фебруара 2022. постигао је свој први и једини гол у сезони Супер лиге 2021/22. против Касимпаше С.К. на стадиону Реџеп Тајип Ердоган у Истанбулу. Утакмица је завршена победом Фенербахчеа резултатом 2 : 1.[10]
У сезони Супер лиге 2022/23. одиграо је 32 утакмице и постигао два гола.[11][12] Постигао је свој први гол у сезони у победи од 4 : 0 против Коњаспора 25. фебруара 2023. године,[тражи се извор] а 10. априла 2023. постигао је гол у победи од 2 : 1 у гостима против Фатиха Карагумрука С.К. на Олимпијском стадиону Ататурк у Истанбулу.[13]
Дана 24. јула 2023. Салаи се придружио ТСГ Хофенхајму са четворогодишњим уговором, уз накнаду од 12,3 милиона евра.[18][19][20]
Дана 19. августа 2023. дебитовао је против СЦ Фрајбурга у поразу код куће резултатом 2 : 1 у сезони Бундеслиге 2023/24. Постигао је и аутогол у 39. минуту.[21]] Сходно томе, он је замењен у полувремену и није се појавио у почетној постави у следећој утакмици клуба против 1. ФК Хајденхајм.[22] Дана 2. септембра 2023. играо је против ВфЛ Волфсбурга коју је одиграо до краја.[23][24]
Репрезентација
Салаи је дебитовао за репрезентацију Мађарске 15. новембра 2019. у пријатељској утакмици против Уругваја. Заменио га је Ботонд Барат у 72. минуту.[25]
Дана 1. јуна 2021. Салаи је укључен у репрезентацију састављену од 26 играча који ће представљати Мађарску на поново заказаном УЕФА Еуро 2020 турниру.[26]
Свој први гол за репрезентацију Мађарске је постигао против Луксембурга у пријатељској утакмици на стадиону Стаде де Лукембоург у Гаспериху, град Луксембург, Луксембург 17. новембра 2022. године.[27][28][29]
^„There is a new SZALAI in town”. YouTube (на језику: немачки). TSG Hoffenheim. 24. 7. 2023. Приступљено 24. 7. 2023.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
.jpg)
