У математици, аритметичка прогресија (АП) или аритметички низ је низ бројева таквих да је разлика између узастопних чланова константна. На пример, ред 5, 7, 9, 11, 13, 15 … је аритметичка прогресија са међусобном разликом 2.

Ако је почетни члан аритметичке прогресије ${\displaystyle a_{1}}$ и међусобна разлика узастопних чланова d, онда је n-ти члан низа (${\displaystyle a_{n}}$) дат формулом:

${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$

и генерално

${\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$

Понашање аритметичке прогресије зависи од међусобне разлике d. Ако је међусобна разлика:

• Позитивна, чланови ће расти ка позитивној бесконачности.
• Негативни, чланови ће расти ка негативној бесконачности.

Збир чланова коначне аритметичке прогресије се зове аритметички низ. На пример, размотримо збир:

${\displaystyle 2+5+8+11+14}$

Збир може бити брзо пронађен множењем броја n чланова који се додају (овде 5) збиром првог и последњег члана прогресије (овде 2 + 14 = 16), и дељењем 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

У горњем случају, добијамо једначину:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Формула ради за било које реалне бројеве ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{n}}$. На пример:

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

За извођење формуле изнад, треба почети изражавањем аритметичког низа на два различита начина: 

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

Додавање обе стране две једначине, све чланови који се односе на d поништити:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

Дељење обе стране 2 доводи до уобичајеног облика једначине:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

Алтернативна форма резултата из поновног додавања замене: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

Додатно, главна вредност низа може бити израчуната помоћу: ${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

Године 499. АД Ариабата, истакнути математичар-астроном из класичног доба индијске математике и индијске астрономије, је дао овај метод у Ариабатији (одељак 2.18).

Производ чланова коначне аритметичке прогресије са почетним чланом a₁, међусобним разликама d, и n чланова укупно се одређује у затвореном изразу

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}$

где ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ означава растуће факторијеле и ${\displaystyle \Gamma }$ означава Гама функцију. (Приметимо да формула није валидна када је ${\displaystyle a_{1}/d}$ i+негативан цео број или нула.)

Ово је генералисана форма чињенице да је производ прогресије ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ дат факторијелом ${\displaystyle n!}$ што производи 

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}$

за позитивне целе бројеве ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ и дат је формулом

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Узимајући пример одозго, производ чланова аритметичке прогресије дат као  a_n = 3 + (n-1)(5) до 50. члана је

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Стандардна девијација било које формуле аритметичке прогресије се може израчунати преко формуле:

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

где је ${\displaystyle n}$ број чланова у прогресији, а ${\displaystyle d}$ је међусобна разлика између чланова

Пресек било које две дупле бесконачне аритметичке прогресије је или празан или друга аритметичка прогресија, која се може пронаћи коришћењем теореме кинески подсетник. Ако сваке две прогресије у породици или дупле аритметичке прогресије имају не-празан пресек, онда постоји број заједнички за све њих; то је бесконачна аритметичка прогресија из Хели породице. Међутим, пресек бесконачно много бесконачних аритметичких прогресија може бити један број, пре него сама бесконачна прогресија.

Ако је

${\displaystyle a_{1}}$ први члан аритметичке прогресије.

${\displaystyle a_{n}}$ n-ти члан аритметичке прогресије.

${\displaystyle d}$ разлика између чланова аритметичке прогресије.

${\displaystyle n}$ број чланова аритметичке прогресије.

${\displaystyle S_{n}}$ збир n чланова аритметичке прогресије.

${\displaystyle {\overline {n}}}$ средња вредност аритметичког низа.

онда је

1. ${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$

2. ${\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$

3. ${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

4. ${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

5. ${\displaystyle {\overline {n}}}$ = ${\displaystyle S_{n}/n}$

6. ${\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

• Аритметичко-геометријски низ
• Генералисана аритметичка прогресија - је скуп целих бројева конструисан као да је аритметичка прогресија, али уз неколико разлика.
• Хармонијска прогресија
• Херонијски троуглови са странама у аритметичкој прогресији
• Проблеми који се односе на аритметичке прогресију
• Атоналност

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. стр. 259-260. ISBN 978-0-387-95419-6. 

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Arithmetic series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Arithmetic progression”. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. „Arithmetic series”. MathWorld.