Катаи је прошао млађе категорије новосадске Војводине. Као сениорски фудбалер је дебитовао на позајмици у српсколигашу Палићу, а током сезоне 2009/10. прикључен је првом тиму Војводине. Деби у Суперлиги Србије имао је 10. марта 2010, када је ушао као замена на утакмици са Чукаричким, а свој први гол је постигао седам дана касније на утакмици са Младим радником.
У јуну 2011. је потписао четворогодишњи уговор са Олимпијакосом.[2] Одмах је прослеђен на позајмицу у екипу ОФИ-ја са Крита где је наступио на две утакмице. У јануару 2012. вратио се на позајмицу у Војводину. За сезону 2013/14. поново је позајмљен, овога пута у Платанијас.
Крајем августа 2014. долази на једногодишњу позајмицу у Црвену звезду.[3] Наредног лета је раскинуо уговор са Олимпијакосом и потписао двогодишњи уговор са Црвеном звездом.[4] У сезони 2015/16, Катаи је са Црвеном звездом освојио титулу првака Србије а са 21 постигнутим голом је био најбољи стрелац лиге.[5] Последњег дана летњег прелазног рока 2016. године напустио је Звезду и потписао за шпанског прволигаша Алавес.[6]
Катаи је 31. децембра 2019. потписао уговор са Лос Анђелес галаксијем.[7] За овај клуб је одиграо само две утакмице у МЛС лиги, након чега је првенство прекинуто због пандемије корона вируса. Катаи је био играч Лос Анђелес галаксија до 5. јуна 2020, када је уговор раскинут због наводно расистичких порука које је његова супруга остављала на друштвеној мрежи Инстаграм.[8][9]
Дана 10. јула 2020. године, Катаи се вратио у Црвену звезду, после четири године играња у иностранству.[10] Задужио је дрес са бројем 10 који је носио када је први пут дошао у Звезду.[11]
Репрезентација
За сениорску репрезентацију Србије је дебитовао 13. новембра 2015. на пријатељској утакмици против Чешке у Острави.[12] Србија је тај меч изгубила резултатом 1:4 а Катаи је на терен ушао у 59. минуту уместо Душана Тадића.[13] Наступио је на укупно 10 утакмица за сениорску репрезентацију а последњи пут је носио дрес Србије 12. новембра 2020. на утакмици са Шкотском у оквиру квалификација за Европско првенство 2021. године.
^„Vojvodina 2009-2010”. footballsquads.co.uk (на језику: енглески). Приступљено 2. 9. 2020.
^„Vojvodina 2010-2011”. footballsquads.co.uk (на језику: енглески). Приступљено 2. 9. 2020.
^„Vojvodina 2011-2012”. footballsquads.co.uk (на језику: енглески). Приступљено 2. 9. 2020.
^„Vojvodina 2012-2013”. footballsquads.co.uk (на језику: енглески). Приступљено 2. 9. 2020.
^ аб„Αλεξάνταρ Κατάι”. Суперлига Грчке у фудбалу, званична презентација (на језику: gr). Приступљено 29. 10. 2022.CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)