Simetrična grupa je v matematiki grupa nad končno množico ${\displaystyle n\,}$ simbolov, katere elementi so permutacije teh ${\displaystyle n\,}$ simbolov in za katere je grupna operacija kompozicija teh permutacij. Permutacije so obravnavane kot bijektivne funkcije iz množice simbolov v sebe ^[1]. Čeprav lahko simetrično grupo definiramo za neskončne množice, se bomo tukaj ukvarjali samo s končnimi simetričnimi grupami. V zvezi s tem pa z njihovo uporabo, elementi, njihovimi konjugacijami, končnimi prezentacijami ter njihovimi podgrupami.

Simetrična grupa nad končno množico ${\displaystyle X\,}$ je grupa, katere elementi so bijektivne funkcije iz ${\displaystyle X\,}$ v ${\displaystyle X\,}$ in grupna operacija je kompozicija funkcij. Za končno množico se izrazi permutiranje in bijektivne funkcije nanašajo na isto operacijo, ki je tukaj preureditev. Simetrična grupa stopnje ${\displaystyle n\,}$ je simetrijska grupa nad množico X = {1, 2, …, n}

Simetrično grupo nad množico ${\displaystyle X\,}$ označujemo na različne načine kot so S_X, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$, Σ_X, and Sym(X).^[1] Kadar je ${\displaystyle X\,}$ množica {1, 2, …, n} lahko simetrično grupo označimo tudi kot S_n,^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n},}$ Σ_n in Sym(n).

Simetrična grupa nad neskončnimi množicami se obnašajo popolnoma drugače kot simetrijske grupe nad končnimi množicami.

Simetrična grupa nad množico ${\displaystyle n\,}$ elementov ima red n! ^[2]. Je Abelova grupa, če in samo, če je n ≤ 2. Za n = 0 in n = 1(prazna množica in množica z enim elementom) je simetrijska grupa trivialna grupa (ker je 0! = 1! = 1) in v tem primeru je alternirajoča grupa enaka simetrijski grupi. Grupa S_n je rešljiva grupa, če je in samo, če je n ≤ 4. to je tudi bistven del preizkusa Abel-Ruffinijevega izreka. To kaže na to, da za vsak n>4 obstajajo polinomi s stopnjo n, ki niso rešljivi s koreni. To pomeni, da rešitev ne moremo izraziti s končnim številom seštevanj, množenj, deljenj in iskanja korenov na koeficientih polinoma.

• simetrijska grupa

Ta matematični članek je škrbina. Pomagajte Wikipediji in ga razširite.

• p
• p
• u