Permutacijska matrika (oznaka ${\displaystyle P_{\pi }\,}$) je kvadratna matrika, ki ima v vsaki vrstici samo en element enak 1, na ostalih mestih pa ima ničle. Prav tako ima tudi v vsakem stolpcu samo po en element enak 1, ostali pa so 0. Vsaka takšna matrika predstavlja določeno permutacijo ${\displaystyle m\,}$ elementov. Vsaka permutacija ima svojo permutacijsko matriko. Če permutacijsko matriko pomnožimo z drugo matriko, dobimo permutacije v vrsticah v drugi matriki. Permutacijska matrika je nesigularna, kar pomeni, da njena determinanta ni nikoli enaka 0 (vedno je +1 ali -1).

Permutacijska matrika se vedno dobi s permutacijami enotske matrike. Vsaka enotska matrika je tudi permutacijska matrika.

Permutacijo ${\displaystyle m\,}$ elementov označimo s ${\displaystyle \pi \,}$

${\displaystyle \pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \,}$

To lahko enakovredno zapišemo v posebni obliki, ki jo imenujemo ciklično označevanje permutacij

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}}\,}$

kjer je

• v prvi vrstici so napisani vsi elementi, ki jih permutiramo
• v drugi vrstici so zapisane posamezne vrednosti permutiranih elementov

${\displaystyle \pi (1)\,}$ pomeni permutirani element na prvem mestu

itd.

Permutacijska matrika ${\displaystyle P_{\pi }\,}$ z razsežnostjo ${\displaystyle m\times m\,}$ ima povsod 0, razen v vrstici ${\displaystyle i\,}$, kjer ima vrednost 1. To lahko zapišemo kot

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}},}$

kjer je

• ${\displaystyle e_{j}\,}$ enotski vrstični vektor z dolžino ${\displaystyle m\,}$, ki ima enico na ${\displaystyle j\,}$-tem mestu, na vseh ostalih mestih pa ima ${\displaystyle 0\,}$.

Ena izmed permutacij štirih elementov je :

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\\4&&2&&1&&3\end{pmatrix}}}$

Pripadajoča matrika pa je:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}0&&0&&0&&1\\0&&1&&0&&0\\1&&0&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\\end{pmatrix}}}$.

Permutacijski matriki ${\displaystyle 2\times 2\,}$ (dva elementa, ki permutirata) sta ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$ in ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

Primer permutacijske matrike ${\displaystyle 4\times 4\,}$ (štirje elementi, ki permutirajo): ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$

• za dve permutaciji ${\displaystyle \sigma \,}$ in ${\displaystyle \pi \,}$ velja ${\displaystyle P_{\sigma }.P_{\pi }=P_{\sigma \circ \pi }}$

kjer je

${\displaystyle \circ \,}$ kompozitum permutacij ${\displaystyle P_{\sigma }\,}$ in ${\displaystyle P_{\pi }\,}$

• permutacijske matrike so ortogonalne, zanje velja :${\displaystyle P_{\pi }P_{\pi }^{T}=I}$
• permutacijska matrika spada med stohastične matrike
• množenje permutacijske matrike ${\displaystyle P\,}$ s poljubno matriko ${\displaystyle A\,}$ povzroči permutacijo vrstic v matriki ${\displaystyle A\,}$ (to je ${\displaystyle P.A\,}$)
• množenje poljubne matrike ${\displaystyle A\,}$ s permutacijsko matriko ${\displaystyle P\,}$ ima za posledico permutacijo stolpcev v matriki ${\displaystyle A\,}$ (to je ${\displaystyle A.P\,}$)
• obratna vrednost permutacijske matrike je enaka njeni transponirani ${\displaystyle P^{-1}=P^{T}\,}$ ali ${\displaystyle A.A^{T}=I\,}$ (${\displaystyle I\,}$ je enotska matrika)

Vsota elementov v vsaki vrstici permutacijske matrike je 1. To lahko posplošimo tako, da dovolimo v vsaki vrstici poljubno vsoto. Takšne matrike so vsote permutacijskih matrik.

Primer: Naslednja matrika ima v vsaki vrstici vsoto elementov enako 5

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}5&0&0&0&0\\0&3&2&0&0\\0&0&0&5&0\\0&1&2&0&2\\0&1&1&0&3\end{bmatrix}}.}$.

• seznam vrst matrik

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Permutation Matrix«. MathWorld.
• Značilnosti permutacijske matrike^{[mrtva povezava]} (angleško)