Notacija orbifold je v geometriji sistem, ki pomaga prikazovati simetrijske grupe v dvorazsežnem prostoru, ki ima konstantno ukrivljenost. Prednost te vrste notacije je v tem, da opisuje te grupe na način, ki označuje mnoge značilnosti grup.

Notacijo je izumil ameriški matematik William Thurston (rojen 1946), populariziral pa jo je angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937).

Naslednje vrste evklidskih transformacij so možne v grupi, ki jo opisuje notacija orbifold:

• zrcaljenje preko premice (ali ravnine)
• translacija s pomočjo vektorja
• vrtenje končnega reda okoli točke
• neskončno vrtenje okoli premice v trirazsežnem prostoru
• zrcaljenje-drsenje (to je zrcaljenje, ki mu sledi translacija

Vse translacije, ki nastopajo, sestavljajo nezvezno podgrupo grup simetrije.

Vsaka grupa je v notaciji orbifold označena s končnim zaporedjem znakov, ki so lahko

• pozitivna cela števila ${\displaystyle 1,2,3,\dots }$
• znak za neskončnost ${\displaystyle \infty }$
• zvezdica, *
• znak ${\displaystyle o}$
• znak ${\displaystyle x}$

Znaki, zapisani v mastnem tisku predstavljajo simetrijsko grupo v evklidskem trirazsežnem prostoru.

Vsak znak pripada drugi transformaciji:

• celo število n na levi strani zvezdice označuje vrtenje reda n okoli točke
• celo število n desno od zvezdice je transformacija reda 2n , ki pomeni vrtenje okoli točke in zrcaljenje preko premice (ali ravnine)
• x pomeni zrcaljenje z drsenjem
• znak ${\displaystyle \infty }$ pomeni neskončno vrtilno simetrijo preko premice; pojavi se lahko samo za mastno zapisane grupe. Lahko rečemo, da so te grupe podgrupe simetrij v evklidski ravnini s samo eno neodvisno translacijo. Frizijske grupe nastopajo na ta način.
• posebni znak o označuje, da sta natanko dve linearno neodvisni translaciji.

Objekt je kiralen, če njegova grupa simetrije ne vsebuje zrcaljenja. V nasprotnem primeru je akiralen. Pripadajoči orbifold je orientabilen v primeru kiralnosti, sicer pa je neorientabilen.

Eulerjeva karakteristika orbifolda se lahko prebere iz Conwayjevega simbola. Vsak znak ima svoj pomen :

• n brez ali pred njo šteje kot ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$
• n za zvezdico šteje kot ${\displaystyle {\frac {n-1}{2n}}}$
• zvezdica in x šteje kot 1
• ${\displaystyle o}$ šteje kot 2

Z odštevanjem vsote teh vrednosti od 2 dobimo Eulerjevo karakteristiko.

Če je vsota tega enaka 2, je red neskončen. To pa pomeni, da notacija predstavlja tapetno ali frizijsko grupo.

Naslednje grupe so izomorfne:

• 1* in *11
• 22 in 221
• *22 in *221
• 2* in 2*1

Simetrija dvorazsežnih objektov brez translacijske simetrije se lahko opiše z vrsto trirazsežne simetrije z dodajanjem tretje razsežnosti tako, da ne doda ali odstrani simetrijo.

Prava snežinka ima simetrijo *66.

petkotnik ima simetrijo *55, celotna slika s puščicami pa 55.

Zastava Hong Konga ima 5 kratno simetrijo vrtenja, 55.

Glavni članek: Seznam grup sferne simetrije.

Glavni članek: Seznam grup ravninske simetrije.

Frizijske grupe

notacije				opis	zgledi
IUC	orbifold	Coxeter	Schönflies*
p1	∞∞	[∞,1]+	C∞	Samo translacije. Ta grupa se generira posamezno, z generatorjem, ki je najmanjša razdalja v kateri se vzorec še ponavlja. Abstraktna grupa: Z, grupa celih števil pod seštevanjem.
p11g	∞x	[∞+,2+]	S∞	Drsenje-zrcaljenje in translacije. Ta grupa se generira z drsnim zrcaljenjem skupaj s translacijami, ki so kombinacije dveh drsnih zrcaljenj. Abstraktna grupa: Z
p11m	∞*	[∞+,2]	C∞h	Translacije v horizontalni smeri in drsno zrcaljenje. Ta grupa se generira s translacijo in zrcaljenjem v horizontalni osi. Abstraktna grupa: Z × Z2
p1m1	*∞∞	[∞,1]	C∞v	Translacije in zrcaljenje vzdolž vertikalnih črt. Ta grupa je ista kot netrivialna grupa v enorazsežnem primeru.Generirana je s translacijo in zrcaljenjem v vertikalni osi. Elementi v tej grupi odgovarjajo izometrijam (ali enakovredno bijektivnim afinim transformacijam) množice celih števil in je tako izomorfna množici polneposrednih produktov s celimi števili z Z2. Abstraktna grupa: Dih∞, neskončna diedrska grupa.
p2	22∞	[∞,2]+	D∞	Translacije in vrtenja za 180°. Grupa se generira s translacijo in vrtenjem za 180° . Abstraktna grupa: Dih∞
p2mg	2*∞	[∞,2+]	D∞d	Zrcaljenje preko določenih vertikalnih črt, drsno zrcaljenje, translacije in vrtenja. Translacije v tem primeru nastanejo z drsnim zrcaljenjem. Ta grupa se generira z drsnim zrcaljenjem ali vrtenjem ali vertikalnim zrcaljenjem. Abstraktna grupa: Dih∞
p2mm	*22∞	[∞,2]	D∞h	Translacije, drsno zarcaljenje, zrcaljenje v obeh oseh in vrtenja za 180°. Ta grupa je "največja" frizijska grupa in potrebuje tri generatorje z eno skupino generatojev, ki so sestavljeni iz translacije in zrcaljenja v horizontalni osi in zrcaljenja preko vertikalne osi. Abstraktna grupa: Dih∞ × Z2
*Schönfliesova notacija točkovne grupe je tukaj razširjena kot neskončni primer ekvivalenta diedrskih točkovnih simetrij.

Prvih nekaj hiperboličnih grup, urejenih po njihovih orbifold značilnostih je:

• Vodič po mnogoterostih (angleško)
• 2DTiler, program za prikazovanje dvorazsežnega tlakovanja v ravnini Arhivirano 2012-07-22 na Wayback Machine. (angleško)