Graf fukcije logaritemskega integrala
li
-->
x
;
0
<
x
≤ ≤ -->
5
{\displaystyle \operatorname {li} x\,;\,0<x\leq 5}
Logaritemski integral (tudi integralski logaritem ali integralni logaritem ,[ 1] :203 označba li) je v matematiki specialna neelementarna funkcija , določena za vsa pozitivna realna števila
x
≠ ≠ -->
1
{\displaystyle x\neq 1\,}
določenim integralom :
li
-->
(
x
)
=
∫ ∫ -->
0
x
d
t
ln
-->
t
.
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\!\,.}
Tukaj ln označuje naravni logaritem . Funkcija
1
/
ln
-->
t
{\displaystyle 1/\ln t\,}
singularno točko v t = 1, tako, da je treba integral za x > 1 predočiti s Cauchyjevo glavno vrednostjo :
li
-->
(
x
)
=
lim
ε ε -->
→ → -->
0
(
∫ ∫ -->
0
1
− − -->
ε ε -->
d
t
ln
-->
t
+
∫ ∫ -->
1
+
ε ε -->
x
d
t
ln
-->
t
)
.
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\right)\!\,.}
Obnašanje funkcije pri x → ∞ je dano z:
li
-->
(
x
)
=
Θ Θ -->
(
x
ln
-->
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\Theta \left({\frac {x}{\ln x}}\right)\!\,.}
(glej zapis z velikim O ).
Logaritemski integral je v glavnem pomemben, ker se pojavlja pri ocenitvi gostote praštevil , še posebej v praštevilskem izreku :
π π -->
(
x
)
∼ ∼ -->
Li
-->
(
x
)
,
{\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)\!\,,}
kjer π(x ) označuje multiplikativno aritmetično funkcijo - število praštevil manjših ali enakih x , Li(x ) pa je funkcija ordinatnega logaritemskega integrala , povezana z li(x ) kot Li(x ) = li(x ) - li(2).
Ordinatni logaritemski integral da še malo boljšo oceno za funkcijo π kot li(x ). Funkcija li(x ) je povezana z eksponentnim integralom x ) preko enačbe:
li
-->
(
x
)
=
Ei
-->
(
ln
-->
x
)
za vse pozitivne realne
x
≠ ≠ -->
1
.
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\quad {\mbox{za vse pozitivne realne}}\;x\neq 1\!\,.}
To vodi do razvojev v vrsto li(x ). Na primer:
l
i
(
e
u
)
=
γ γ -->
+
ln
-->
|
u
|
+
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
u
n
n
⋅ ⋅ -->
n
!
z
a
u
≠ ≠ -->
0
,
{\displaystyle {\rm {li}}(e^{u})=\gamma +\ln \left|u\right|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n\cdot n!}}\quad {\rm {za}}\;u\neq 0\!\,,}
kjer je γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... Euler-Mascheronijeva konstanta . Funkcija li(x ) ima eno pozitivno ničlo pri x ≈ 1,45136 92348 .... To število je znano kot Ramanudžan-Soldnerjeva konstanta .
Glej tudi
Sklici
Viri
Zunanje povezave
