Eksponéntni integrál (tudi integrálna eksponéntna fúnkcija,^[1]:203 označba Ei) je v matematiki specialna nelementarna funkcija v kompleksni ravnini. Definirana je kot poseben določeni integral razmerja med eksponentno funkcijo in njegovim argumentom.

Za realne neničelne vrednosti x je eksponentni integral Ei(x) definiran kot:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\!\,.}$

Rischev algoritem pokaže, da funkcija Ei ni elementarna. Zgornja definicija se lahko uporabi za pozitivne vrednosti x, vendar je treba integral razumeti v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti zaradi singularnosti integranda v točki 0.

Za kompleksne vrednosti argumenta je ta definicija dvoumna zaradi vejišč v 0 in ${\displaystyle \infty }$.^[2] Zaradi tega se namesto Ei uporablja naslednji zapis:^[3]

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad (|{\rm {Arg}}(z)|<\pi )\!\,.}$

V splošnem je prerez vejišča vzet na negativni realni osi in se lahko funkcija E₁ definira z analitičnim nadaljevanjem vseepovsod drugod v kompleksni ravnini.

Za pozitivne vrednosti realnega dela ${\displaystyle z}$ se lahko to zapiše kot:^[4]

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,\mathrm {d} u,\qquad (\Re (z)\geq 0)\!\,.}$

Obnašanje funkcije E₁ blizu prereza vejišča se lahko vidi z naslednjim izrazom:^[5]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}\mathrm {E_{1}} (-x\pm i\delta )=-\mathrm {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad (x>0)\!\,.}$

Več spodnjih značilnosti eksponentnega integrala v določenih primerih omogoča izogib eksplicitni določitvi vrednosti prek zgornje definicije.

Če se integrira Taylorjeva vrsta za ${\displaystyle e^{-t}/t\,}$ in izloči logoritemska singularnost, se lahko izpelje naslednji razvoj v vrsto za funkcijo ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)\,}$ za realne ${\displaystyle x\,}$:^[6]

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}},\qquad (x\neq 0)\!\,.}$

Za kompleksne argumente stran od negativne realne osi se to posploši v:^[7]

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}},\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \gamma \,}$ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vsota konvergira za vse kompleksne ${\displaystyle z}$, tako da se za običajno vrenost kompleksnega logaritma vzame prerez vejišča vzdolž negativne realne osi.

S to formulo se lahko izračuna ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)\,}$ z operacijami s plavajočo vejico za realne ${\displaystyle x\,}$ med 0 in 2,5. Za ${\displaystyle x>2,5\,}$ je rezultat netočen zaradi izgube pomembnosti.

Hitreje konvergirajočo vrsto je našel Ramanudžan:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln x+e^{x/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\!\,.}$

Konvergenca zgornje vrste je počasna za argumente z večjim modulom. Za ${\displaystyle x=10\,}$ je na primer potrebno več kot 40 členov za vrednost točno na tri decimalna mesta.^[8] Obstaja pa približek z divergentno vrsto, ki se lahko dobi z integracijo ${\displaystyle ze^{z}\mathrm {E} _{1}(z)\,}$ po delih:^[9]

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)={\frac {e^{-z}}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}\!\,,}$

z napako reda ${\displaystyle O(N!z^{-N})\,}$ in velja za velike vrednosti ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\,}$. Relativna napaka zgornjega približka je prikazana na desni sliki za različne vrednosti členov ${\displaystyle N\,}$ v prisekani vsoti (${\displaystyle N=1\,}$ rdeče, ${\displaystyle N=5\,}$ rožnato).

Iz dveh vrst predlaganih v predhodnih razdelkih sledi, da se funkcija ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}\,}$ obnaša kot negativna eksponentna funkcija za velike vrednosti argumenta in kot logaritem za majhne vrednosti. Za pozitivne realne vrednosti argumenta se lahko funkcija ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}\,}$ izenači z elementarnimi funkcijami kot sledi:^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E} _{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right),\qquad (x>0)\!\,.}$

Leva stran te neenakosti je prikazana na levem grafu modro; osrednji del ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)\,}$ črno, desna stran pa rdeče.

Obe funkciji ${\displaystyle \operatorname {Ei} \,}$ in ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}\,}$ se lahko zapišeta preprostejši obliki s pomočjo cele funkcije ${\displaystyle \operatorname {Ein} \,}$,^[11] definirane kot:

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\!\,.}$

(to je le alternirajoča vrsta v zgornji definiciji funkcije ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}\,}$). Potem velja:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+\operatorname {Ein} (z),\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )\!\,.}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\operatorname {Ein} (-x),\qquad (x>0)\!\,.}$

EKsponentni integral je v tesni povezavi z logaritemskim integralom li(x) s formulo:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\!\,,}$

za pozitivne realne vrednosti ${\displaystyle x\,}$.

Eksponentni integral se lahko posploši na:

${\displaystyle \operatorname {E} _{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t\!\,,}$

kar se lahko zapiše kot poseben primer nepopolne funkcije gama:^[12]

${\displaystyle \operatorname {E} _{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)\!\,.}$

Posplošena oblika se včasih imenuje Misrova funkcija,^[13] ${\displaystyle \varphi _{m}(x)\,}$, definirana kot:

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=\operatorname {E} _{-m}(x)\!\,.}$

Z upoštevanjem logaritma se definira posplošena integralsko-eksponentna funkcija:^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} _{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }(\log t)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,\mathrm {d} t\!\,.}$

Nedoločeni integral:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b\!\,}$

je po obliki podoben navadni rodovni funkciji za ${\displaystyle d(n)\,}$, številu deliteljev ${\displaystyle n\,}$:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}\!\,.}$

Odvode posplošenih funkcij ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}\,}$ se lahko izračuna s formulo:^[15]

${\displaystyle \operatorname {E} _{n}'(z)=-\operatorname {E} _{n-1}(z),\qquad (n=1,2,3,\ldots )\!\,.}$

Funkcija ${\displaystyle \operatorname {E} _{0}\,}$ se preprosto izračuna, zaradi česar je ta rekurzija uporabna, ker velja ${\displaystyle e^{-z}/z\,}$.^[16]

Če je ${\displaystyle z\,}$ imaginaren, ima nenegativni realni del, tako da se lahko uporabi formula:

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}dt\!\,}$

za povezavo s trigonometričnima integraloma ${\displaystyle \operatorname {Si} \,}$ in ${\displaystyle \operatorname {Ci} \,}$:

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x),\qquad (x>0)\!\,.}$

Realna in imaginarna dela funkcije ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)\,}$ sta prikazana na desni sliki s črno in rdečo krivuljo.

Za funkcijo eksponentnega integrala obstaja več približkov. Med njimi so:

• približek Swameeja in Ohije:^[17]

${\displaystyle {\mathsf {E}}_{1}[x]=(A^{-7.7}+B)^{-0.13}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle A=\ln {\bigg [}{\bigg (}{\frac {0,56146}{x}}+0,65{\bigg )}(1+x){\bigg ]}}$ in ${\displaystyle B=x^{4}e^{7,7x}(2+x)^{3,7}\,}$,

• približek Allena in Hastingsa:^[17][18]

${\displaystyle {\mathsf {E}}_{1}[x]={\begin{cases}\ln {x}+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{4}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{4}}},&x\geq 1\end{cases}}}$

kjer je ${\displaystyle {\textbf {a}}\triangleq [-0,57722,0,99999,-0,24991,0,5519,-0,00976,0,00108]^{T}\,}$, ${\displaystyle {\textbf {b}}\triangleq [0,26777,8,63476,18,05902,8,57333]^{T}\,}$, ${\displaystyle {\textbf {c}}\triangleq [3,95850,21,09965,25,63296,9,57332]^{T}\,}$ in ${\displaystyle {\textbf {x}}_{k}\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\,}$,

• razvoj z verižnim ulomkom:^[18]

${\displaystyle {\mathsf {E}}_{1}[x]={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\dots }}}}}}}}}}}}\!\,,}$

• približek Barryja s sodelavcema:^[19]

${\displaystyle {\mathsf {E}}_{1}[x]={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-x/(1-G)}}}\ln {\bigg [}1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}{\bigg ]}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle h={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\,}$, ${\displaystyle q={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {31/26}}\,}$, ${\displaystyle h_{\infty }={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\,}$, ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\,}$, ${\displaystyle G=e^{-\gamma }\,}$, in tu ${\displaystyle \gamma \,}$ Euler-Mascheronijeva konstanta.

${\displaystyle \operatorname {Ei} (0)=-\infty \!\,,}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/5)=-0,821760587902400315653310869899\ldots \!\,,}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/4)=-0,542543264661913729533531851734\ldots \!\,,}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/3)=-0,158092108971155710313577306230\ldots \!\,,}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/2)=0,454219904863173579920523812662\ldots \!\,,}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (1)=1,895117816355936755466520934331\ldots \!\,,}$ (OEIS A091725),

${\displaystyle \operatorname {Ei} (2)=4,954234356001890163379505130227\ldots \!\,,}$

Ničla (${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=0\,}$) ima vrednost:

${\displaystyle x=0,372507410781366634461991866580\ldots \!\,,}$ (OEIS A091723).

• časovno odvisni prenos toplote
• neravnovesni tok podtalnice v prehodni Theisovi rešitvi (funkcija vodnjaka)
• prenos sevanja v zvezdnih atmosferah
• radialna difuzijska enačba za tok prehodnega ali spremenljivega stanja s črtastimi viri in ponori
• rešitve nevtronske transportne enačbe v poenostavljenih enorazsežnih geometrijah.^[20]

• Goodwin-Statonov integral

• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001), »Integral exponential function«, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (angleško)
• NIST documentation on the Generalized Exponential Integral (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Exponential Integral«. MathWorld.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »En-Function«. MathWorld.
• Exponential integral Ei na strani Wolfram Functions (angleško)
• Eksponentni, logaritemski, sinusni in kosinusni integral v DLMF (angleško)