Schranz je v svoji karieri nastopil na zimskih olimpijskih igrah v letih 1960 v Squaw Valleyju, 1964 v Innsbrucku in 1968 v Grenoblu. Največji uspeh je dosegel na igrah leta 1964, ko je osvojil srebrno medaljo v veleslalomu. Na svetovnih prvenstvih je osvojil naslove prvaka v letih 1962 v smuku in kombinaciji ter leta 1970 v veleslalomu, srebrno medaljo leta 1956 in bronasto leta 1966, obakrat v veleslalomu. V svetovnem pokalu je osvojil dva velika kristalna globusa za zmago v skupnem seštevku v sezonah 1968/69 in 1969/70. V sezoni 1968/69 je osvojil tudi mala kristalna globusa za zmago v seštevku veleslaloma in smuka, v sezoni 1969/70 pa veleslaloma. V svetovnem pokalu je dosegel 23 uvrstitev na stopničke in dvanajst zmag, osem v smuku in štiri v veleslalomu.
