Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.^[1]

Kardinalnost množice ${\displaystyle A\,}$ se običajno označuje z ${\displaystyle |A|\,}$, kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še ${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}\,}$ in # A.

• ${\displaystyle |A|=|B|\,}$. V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz ${\displaystyle A\,}$ v ${\displaystyle B\,}$).

Zgled: množica ${\displaystyle E={0,2,4,6,\dots }\,}$ nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica ${\displaystyle N={0,1,2,3,\dots }\,}$ naravnih števil, ker je funkcija ${\displaystyle f(n)=2n\,}$ bijektivna preslikava iz ${\displaystyle N\,}$ v ${\displaystyle E\,}$.

• ${\displaystyle |A|\geq |B|\,}$. V tem primeru ima množica ${\displaystyle A\,}$ večjo ali enako kardinalnost kot ${\displaystyle B\,}$, če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz ${\displaystyle B\,}$ v ${\displaystyle A\,}$.
• ${\displaystyle |A|>|B|\,}$. V tem primeru je kardinalnost množice ${\displaystyle A\,}$ večja od kardinalnosti množice ${\displaystyle B\,}$. To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice ${\displaystyle B\,}$ v množico ${\displaystyle A\,}$.

Glavni članek: Kardinalno število.

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .}$

Za vsako ordinalno število ${\displaystyle \alpha \,}$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}\,}$ najmanjše kardinalno število večje od ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,}$ (oznaka ${\displaystyle \aleph \,}$ je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z ${\displaystyle \aleph _{0}\,}$, (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s ${\displaystyle {\mathfrak {c}}\,}$ in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja ${\displaystyle c=2^{\aleph _{0}}\,}$, kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}\,}$. To pa pomeni,da je ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\,}$ najmanjše kardinalno število večje od ${\displaystyle {\aleph _{0}}\,}$. To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Glavni članek: Kardinalnost kontinuuma.

Kardinalnost kontinuuma se označuje s ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka ${\displaystyle \aleph _{0}\,}$). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \aleph _{0}\,}$ kardinalnost naravnih števil (alef nič)
• ${\displaystyle \beth \,}$ število bet

• Kardinalno število (angleško)
• Kardinalnost na PlanethMath Arhivirano 2011-06-04 na Wayback Machine. (angleško)
• Kardinalnost na MathWorld (angleško)
• Kardinalnost (angleško)