Juliova množina je množina všetkých bodov ${\displaystyle z}$ v komplexnej rovine, pre ktoré postupnosť ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$, kde ${\displaystyle c}$ je ľubovoľné komplexné číslo, nediverguje. Hranice takejto množiny tvoria fraktál. Prvýkrát boli tieto množiny popísané francúzskymi matematikmi Gastonom Juliom a Pierrom Fatom.

Juliove množiny možno zostrojiť jednoducho. Zvolíme ľubovoľné komplexné číslo c, ktoré bude charakterizovať množinu. Pre každý bod z (formálne ${\displaystyle z_{0}}$) komplexnej roviny zistíme, či neustálym umocňovaním ${\displaystyle z_{n}}$ a pripočítaním konštanty c diverguje:

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$

Ak nediverguje, bod ${\displaystyle z}$ patrí do množiny. Výpočet vyzerá veľmi ľahko: Skúmané číslo ${\displaystyle z}$ je umocnené a je k nemu pripočítaná konštanta c. Ak je výsledok v absolútnej hodnote väčší ako 2, bod nepatrí do množiny. Ak je menší, iterácia sa zopakuje. Ak ani po niekoľkých opakovaniach výsledok nepresiahne hodnotu 2, bod patrí do Juliovej množiny. Na počte vykonaných iterácií (v ideálnom prípade nekonečno) závisí ostrosť detailov zobrazenej množiny. Podľa počtu iterácií, po ktorých absolútna hodnota bodu ${\displaystyle z_{n+1}}$ prekročí 2, možno bodu ${\displaystyle z_{0}}$ priradiť farbu a získať tak rôzne farebné prechody, hoci by správne graf Juliovej množiny mal byť dvojfarebný (patrí / nepatrí).

• 
  f(z) = z² + 0.279
• 
  f(z) = z³ + 0.400
• 
  f(z) = z⁴ + 0.484
• 
  f(z) = z⁵ + 0.544
• 
  f(z) = z⁶ + 0.590
• 
  f(z) = z⁷ + 0.626
• 
  f(z) = exp(z) - 0.65
• 
  f(z) = exp(z³) - 0.59
• 
  f(z) = exp(z³) - 0.621
• 
  f(z) = z * exp(z) + 0.04
• 
  f(z) = z² * exp(z) + 0.21
• 
  f(z) = z³ * exp(z) + 0.33
• 
  f(z) = z⁴ * exp(z) + 0.41
• 
  f(z) = Sqrt[Sinh(z²)] + (0.065,0.122i)
• 
  f(z) = [(z²+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)

• Mandelbrotova množina

• Root.cz, Fraktály v počítačovej grafike X: http://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-x/#k05

Matematický portál