Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika ${\displaystyle a+bi}$, gde su a i ${\displaystyle b}$ realni brojevi, ${\displaystyle i}$ jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

${\displaystyle (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,}$, ${\displaystyle (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,}$, ${\displaystyle {\frac {a+bi}{x+yi}}={\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\cdot i}$

U kompleksnom broju ${\displaystyle z=a+bi}$ broj ${\displaystyle a}$ se naziva realni deo, piše se ${\displaystyle a=Re(z)}$, a broj ${\displaystyle b}$ je imaginarni deo, piše se ${\displaystyle b=Im(z)}$.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz ${\displaystyle i}$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva ${\displaystyle (a,b)}$. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

${\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,}$, ${\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)}$, ${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}$.

Par ${\displaystyle (0;1)}$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom ${\displaystyle i}$.^[1] Iz poslednjih formula proizilazi da je ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1}$.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ .

S druge strane, zapis oblika ${\displaystyle z=x+yi}$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

${\displaystyle z=x+yi}$ i

${\displaystyle z=(x,y)}$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je skup svih brojeva oblika ${\displaystyle z=x+iy}$, gdje su ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$.

Posebno je ${\displaystyle 0=0+i0}$.

${\displaystyle x=\mathrm {Re} (z)}$ je realni dio kompleksnog broja ${\displaystyle z}$,

${\displaystyle y=\mathrm {Im} z}$ je imaginarni dio kompleksnog broja ${\displaystyle z}$.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

${\displaystyle z=x+iy}$ za ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

${\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }$

pri čemu je

${\displaystyle r=\mid z\mid }$ modul

${\displaystyle \theta =ARgz}$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

${\displaystyle z=r*e^{i\theta }}$ za ${\displaystyle r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }$

pri čemu je

${\displaystyle r=\mid z\mid }$ modul

${\displaystyle \theta =ARgz}$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

${\displaystyle z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}$

Konjugirano kompleksni broj broja ${\displaystyle z=x+iy}$ je broj ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja ${\displaystyle z}$ je nenegativni realni broj ${\displaystyle r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

^[2] ${\displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ komutativnost sabiranja

${\displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ asocijativnost sabiranja

${\displaystyle \exists 0\in \mathbb {C} z+0=z}$ za ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }$ neutralni element 0 (nula) za sabiranje

Kompleksni broj ${\displaystyle 0=(0,0)=0+0i}$

${\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0}$ postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj ${\displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}$^[3]

${\displaystyle z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ komutativnost množenja

${\displaystyle z_{1}*(z_{2}*z_{3})=(z_{1}*z_{2})*z_{3}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ asocijativnost množenja

${\displaystyle \exists 1\in \mathbb {C} z*1=z}$ za ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }$ neutralni element ${\displaystyle 1}$ za množenje

${\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z')=1}$ postojanje recipročnog elemanta

${\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje^[4]

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$, u oznaci ${\displaystyle a\circ b}$,je realan broj određen kao

${\displaystyle a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})}$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}$ i${\displaystyle b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )}$ Lako je proveriti da je

${\displaystyle a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

1. ${\displaystyle a\circ a=\mid a\mid ^{2}}$
2. ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$
3. ${\displaystyle {\overline {a\circ b}}=a\circ b}$
4. ${\displaystyle (\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)}$
5. ${\displaystyle (az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)}$
6. ${\displaystyle a\circ b=0<=>OA\perp OB}$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$)

Realan proizvod kompleksnih brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ jednak je potenciji koordinantnog početka ${\displaystyle O}$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik ${\displaystyle AB}$, gdje su ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$.

Tačka ${\displaystyle M}$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$, potencija tačke ${\displaystyle O}$ u odnosu na krug sa središtem u tački ${\displaystyle M}$ i poluprečnikom

${\displaystyle r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}}$ jednaka je

${\displaystyle OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b}$

Neka su tačke ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. ${\displaystyle AB\perp CD}$
2. ${\displaystyle (a+b)\circ (c+d)=0}$
3. ${\displaystyle {\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}$
4. ${\displaystyle Re({\frac {b-a}{d-c}})=0}$

Središte kružnice opisane oko trougla ${\displaystyle ABC}$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ trougla ${\displaystyle ABC}$ određena kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ respektivno, tada je ortocentar ${\displaystyle H}$ tog trougla određen kompleksnim brojem ${\displaystyle h=a+b+c}$.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

${\displaystyle a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$.

Neka su ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ tačke određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}$ i ${\displaystyle a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )}$ Lako je provjeriti da je

${\displaystyle \mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}}$

Neka su ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

1. ${\displaystyle {\overline {a\times b}}=-a\times b}$
2. ${\displaystyle a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b}$ gdje je ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}$
3. ${\displaystyle a\times b=-b\times a}$
4. ${\displaystyle \alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)}$ ( ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }$ )

Ako su ${\displaystyle A(a)}$ i ${\displaystyle B(b)}$ dvije različite tačke različite od ${\displaystyle O(0)}$, tada je ${\displaystyle a\times b=0}$ onda i samo onda ako su ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$ kolinearne tačke.

Neka su ${\displaystyle A(a}$) i ${\displaystyle B(b}$) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ ima sljedeći geometrijski smisao

${\displaystyle a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}}$ Neka su ${\displaystyle A(a)}$, ${\displaystyle B(b)}$ i ${\displaystyle C(c)}$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

${\displaystyle P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orjentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orjentisan\end{cases}}}$

Neka su ${\displaystyle A(a)}$, ${\displaystyle B(b)}$ i ${\displaystyle C(c)}$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

1. Tačke ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$ su kolinearne
2. ${\displaystyle (b-a)\times (c-a)=0}$
3. ${\displaystyle a\times b+b\times c+c\times a=0}$

Neka su ${\displaystyle A(a)}$, ${\displaystyle B(b)}$, ${\displaystyle C(c)}$ i ${\displaystyle D(d)}$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je ${\displaystyle AB\parallel CD}$ onda i samo onda ako je ${\displaystyle (b-a)\times (d-c)=0}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0}$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C} }$

Neka je ${\displaystyle z=x+yi\neq 0}$ bilo koji. Onda je ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\neq 0}$ pa je dobro definisan broj

${\displaystyle z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$

imamo

${\displaystyle z'*z=z*z'=1}$

${\displaystyle z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}}$

Kompleksan broj ${\displaystyle {\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }}$ nazivamo konjugovanim broju ${\displaystyle z=x+yi=r^{i\theta }}$.^[5]

Brojevi ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle {\overline {z}}}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

${\displaystyle Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})}$

${\displaystyle Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})}$

Lako se provjerava da vrijedi

1. ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}$
3. ${\displaystyle {\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}}$
4. ${\displaystyle {\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}}$^[6]

Neka je ${\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta }$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

${\displaystyle z^{2}=z*z}$

${\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }$

${\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }$

${\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }$ ^[7]

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

${\displaystyle z^{n}=r^{n}\ cisn\theta }$ ili

${\displaystyle (cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)}$^[8]

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }}$ za ${\displaystyle n\in N}$.

${\displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}$

${\displaystyle z_{1}^{n}*z_{2}^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}$

${\displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}}$ za ${\displaystyle n\in N}$

gdje je

${\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})}$ za ${\displaystyle k=0,1,...(n-1)}$

${\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}}$ za ${\displaystyle k=0,1,...(n-1)}$

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

${\displaystyle i=(a+bi)^{2}\!}$

${\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!}$

Dobijamo dvije jednačine

${\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}$

čija su rješenja

${\displaystyle a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Izbor glavnog korjena daje

${\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

${\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}}$

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja ${\displaystyle z=x+yi}$ je

${\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}$ ^[9]

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

${\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}$

${\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Iz trigonometrijskih identiteta

${\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}$

${\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}$

imamo

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}$

Primjer

${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

Dijeljenje

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}$

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

${\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,}$,

${\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}}$, za ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}}$ za ${\displaystyle a<0}$; kada je ${\displaystyle a=0}$ onda je ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$, ako je ${\displaystyle b>0}$ i ${\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}}$, ako je ${\displaystyle b<0}$. Broj ${\displaystyle \rho }$ se naziva moduo kompleksnog broja, a ${\displaystyle \phi }$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

${\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}$ .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva ${\displaystyle a,b,\rho ,\phi }$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora ${\displaystyle \rho }$ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: ${\displaystyle |z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,}$;

tj.

${\displaystyle e^{in\phi }=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}\,}$;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa ${\displaystyle i}$, takvog da je ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

${\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}$ i ${\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}$

onda je ^[10]

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=}$

${\displaystyle r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=}$

${\displaystyle r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1})=}$

${\displaystyle r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

${\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}$ i ${\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}$

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {r_{1}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{r_{2}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}}$ ^[11]

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Neka je ${\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta }$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

${\displaystyle z^{2}=z*z}$

${\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }$

${\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }$

${\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

${\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}$ ^[12]

1. Kompleksni brojevi Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u
2. Kompleksni brojevi
3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
4. Skup kompleksnih brojeva Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u

1. ↑ „imaginarna jedinica”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21. 
2. ↑ „Računske operacije su definirane”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21. 
3. ↑ „Aksiomi polja kompleksnih brojeva”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21. 
4. ↑ „Aksiomi polja kompleksnih brojeva”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21. 
5. ↑ Konjugovano komleksni broj kompleksnog broja
6. ↑ „Kompleksno-konjugirani brojevi”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21. 
7. ↑ stepenovanje/19.februar 2014.
8. ↑ Moavrova formula:
9. ↑ Modul kompleksnog broj Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-ua
10. ↑ Sada, kada smo odredili brojeve, možemo ih pomnožiti:19. februar 2014
11. ↑ u opštem slučaju važi 19. februar 2014.
12. ↑ De Moavrova formula 21.februar 2014.