Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел (количество простых чисел на отрезке ) растёт с увеличением как , то есть:
- , когда
Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до вероятность оказаться простым примерно равна .
Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения -го простого числа : она утверждает, что
(здесь и далее запись означает, что когда аргумент функций стремится к бесконечности).
Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно[1]
- при
История
Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:
где Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:
Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций и , указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.
В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает[3], что верхний M и нижний m пределы отношения
|
(1)
|
заключены в пределах , а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.
В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и де ла Валле Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.
Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.
Общий ход доказательства
Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва
Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как
иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:
А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что
|
Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка , а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы примерно равны , и функция асимптотически ведёт себя так же, как .
Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана
Как следует из тождества Эйлера,
ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:
Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции равен при и 0 при . Поэтому, умножение правой и левой части на и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по оставляет в левой части в точности сумму с . С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке — полюс первого порядка с вычетом, равным .
Строгая реализация этой программы позволяет получить[4] явную формула Римана[англ.][5]:
Суммирование тут ведётся по нулям дзета-функции, лежащим в критической полосе , слагаемое отвечает полюсу в нуле, а слагаемое — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции .
Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем ). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения от , и, соответственно, на отклонения от .
Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга
Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как
тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как
где и — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.
Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести в правую часть:
где — функция Мёбиуса.
Сумма левой части (**) — искомая функция . В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме где — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать как
где — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид для подходящим образом подобранной функции F (а именно, ), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса
Поскольку остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид . Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения где — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.
Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции .
Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка
где — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка
«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции оценивается лучше асимптотики сумм , позволяет оценивать отношение через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку .
См. также
Примечания
Литература
Классические труды
Современная литература
- Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
- Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
- Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
- Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
- Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
Ссылки
Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|
Словари и энциклопедии | |
---|