Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть $l,k>0$ — целые числа, и $(l,k)=1$ .

Тогда существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p\equiv l{\pmod {k}}$ .

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами^[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых $p\equiv l{\pmod {k}}$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l$ и $k$ :

\lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},

где суммирование ведётся по всем простым числам $p$ с условием $p\equiv l{\pmod {k}}$ , а $\varphi$ — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов ${\bmod {k}}$ , поскольку

\lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел $l$ и $k$ ряд $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ , где суммирование ведётся по простым $p\equiv l{\pmod {k}}$ , расходится.

См. также

Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Примечания

↑ Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.

Литература

Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1986.

Read other articles:

Serie D 1966-1967

Serie D 1966-1967 Competizione Serie D Sport Calcio Edizione 8ª Organizzatore Lega Semiprofessionisti Luogo Italia Partecipanti 108 Formula 6 gironi all'italiana Risultati Promozioni PaviaBolzanoCittà di CastelloPontederaChietiInternapoli Retrocessioni nessuna Cronologia della competizione 1965-1966 1967-1968 Manuale Il campionato di Serie D 1966-67 fu la diciottesima edizione del campionato interregionale di calcio di quarto livello disputata in Italia. Furono promossi Pavia, Bolzan...

Lisa (kelahiran 1974)

Ini adalah nama Jepang, nama keluarganya adalah Narita. Bentuk asli dari nama pribadi ini adalah Narita Erizabesu Sakura. Artikel ini menggunakan rangkaian nama Barat. LISANama asal成田・エリザベス・サクラLahirElizabeth Sakura Narita26 Oktober 1974 (umur 49)Tokyo, JepangPekerjaan Singer producer Karier musikGenre R&B kontemporer pop Tahun aktif1997–sekarangLabelRhythm ZoneArtis terkaitM-FloSitus webwww.avexnet.or.jp/lisa Elizabeth Sakura Narita (成田・エリザ�...

Sápmi Pride

Pride festival with Sápmi focus in Europe Maxida Märak performing at Sápmi Pride in Karasjok in 2015 Sápmi Pride is a pride festival with Sápmi focus arranged annually since 2014.[1] History The festival, organised by Queering Sápmi, took place for the first time in 2014 in Kiruna, in Lapland.[2] The festival, which went on for four days, featured a performance by Sápmi singer Sofia Jannok, and a parade of 300 participants which traveled through the central city.[3&...

Vostochny Cosmodrome Site 1A

Launch complex at the Vostochny Cosmodrome in Russia Vostochny Cosmodrome Site 1APad during construction, July 2020Launch siteVostochny CosmodromeCoordinates51°52′10″N 128°21′26″E / 51.86944°N 128.35722°E / 51.86944; 128.35722OperatorRoscosmosLaunch pad(s)OneLaunch historyStatusActiveLaunches1First launch11 April 2024Angara A5 / Vostochny Angara Test FlightAssociatedrocketsAngara Rocket family The Vostochny Cosmodrome Site-1A (Russian: Площадка...

Southwestern Baptist Theological Seminary

Seminary in Fort Worth, Texas, U.S. This article is about the college in Texas. For the university in Tennessee formerly known as Southwestern Baptist University, see Union University. Southwestern Baptist Theological SeminaryFormer namesTheological Department of Baylor University (1901-05)Baylor Theological Seminary (1905-08)MottoPreach the Word, Reach the World.TypeDepartment of Baylor University (1901-08)Private seminary (1908-present)Established1908 (chartered)AccreditationATS, SACSCOCRel...

Тонкоклювый виреон

Тонкоклювый виреон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:�...

Helena Henschen

Questa voce sull'argomento scrittori svedesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Helena Henschen Helena Henschen (Solna, 21 marzo 1940 – 27 gennaio 2011) è stata una scrittrice svedese. Cresciuta a Stoccolma, Henschen ha un background artistico avendo lavorato come graphic designer. Ha scritto e illustrato diversi libri per bambini ed è stata una delle fondatrici della famosa compagnia di design svedese Mah-Jong. Nel 2004 pubblica I sk...

Abbazia di Saint-Remi

Bene protetto dall'UNESCOCattedrale di Notre-Dame, ex abbazia di Saint-Remi e palazzo di Tau, Reims Patrimonio dell'umanità TipoCulturali Criterio(i)(ii)(vi) PericoloNon in pericolo Riconosciuto dal1991 Scheda UNESCO(EN) Cathedral of Notre-Dame, Former Abbey of Saint-Remi and Palace of Tau, Reims(FR) Scheda Manuale L'Abbazia di Saint-Remi è un'abbazia che si trova a Reims, in Francia, fondata nell'VIII secolo. La chiesa abbaziale conserva le reliquie di San Remigio, vescovo della...

Kapal selam serbu

KRI Nagapasa, kapal selam serang kelas Nagapasa milik TNI AL Kapal selam serbu atau kapal selam pemburu adalah kapal selam yang dirancang khusus untuk tujuan menyerang dan menenggelamkan kapal selam lain, kombatan permukaan dan kapal dagang. Di angkatan laut Soviet dan Rusia mereka dan disebut kapal selam multi guna. Mereka juga digunakan untuk melindungi kapal perang permukaan dan kapal selam rudal.[1] Beberapa kapal selam juga dipersenjatai dengan rudal jelajah yang dipasang di tabu...

Angel Fashion

Puerto Rican professional wrestler Angel FashionPérez in May 2017Birth nameAngel L.Perez RomanBorn (1987-12-14) December 14, 1987 (age 36)Humacao, Puerto RicoProfessional wrestling careerRing name(s)La ModaAngel FashionAngel PérezBilled height6 ft 0 in (1.83 m)Billed weight200 lb (91 kg)Billed fromOrlando, FloridaTrained byShane Sewell Armando Gorbea Savio VegaDebut2005 Angel L. Pérez Roman (born December 14, 1987) is a Puerto Rican professional wrestler. Ange...

Ларбек

У этого термина существуют и другие значения, см. Ларбек. МуниципалитетЛарбекнидерл. Laarbeek Флаг[d] Герб[d] 51°32′00″ с. ш. 05°38′00″ в. д.HGЯO Страна Нидерланды Входит в Северный Брабант Мэр Франк ван дер Мейден История и география Дата образования 1 января 1997 ...

Rudrasimha III

Western Satrap Rudrasimha IIICoin of Bhadramukhas ruler Rudrasimha III, circa 385-415 AD.Western SatrapReignc. 388 - 415 ADPredecessorRudrasena IVSuccessorNoneFatherSatyasimha Rudrasimha III (IAST: Rudrasiṃha) was the last ruler of the Western Satraps in India, in the 4th century AD.[1] Rudrasimha III succeeded Rudrasena IV as the leader of the Indo-Scythians in India.[2] Both were the sons of the Saka ruler Satyasimha, making them at least half-brothers, if not first-degre...

Ancient Israelite cuisine

The Seven Species, agricultural products listed as special to the Land of Israel in the Bible Cuisine of the ancient Israelites from the Iron Age to the Roman period Part of a series onJews and Judaism Etymology Who is a Jew? Religion God in Judaism (names) Principles of faith Mitzvot (613) Halakha Shabbat Holidays Prayer Tzedakah Land of Israel Brit Bar and bat mitzvah Marriage Bereavement Baal teshuva Philosophy Ethics Kabbalah Customs Rites Synagogue Rabbi Texts Tanakh ...

Alpe Adria Cup

Basketball competition in Europe Alpe Adria CupCurrent season, competition or edition: 2023–24 Alpe Adria CupSportBasketballFounded2015First season2015–16No. of teams11CountriesAustriaCroatiaCzech RepublicPolandRomaniaSlovakiaSloveniaContinentFIBA Europe (Europe)Most recentchampion(s) MKS Dąbrowa Górnicza(2nd title)Most titles MKS Dąbrowa Górnicza(2 titles)Official websitealpeadriacup.com Alpe Adria Cup is an international basketball club competition. As of 2023–24, the league compr...

هو تشي منه

هذه المقالة عن هو شي منه مؤسس فيتنام الشمالية. لمدينة هو تشي منه، طالع هو تشي منه (مدينة). هو تشي منه (بالفيتنامية: Hồ Chí Minh)‏ هو تشي منه 1946 رئيس اللجنة المركزية للحزب الشيوعي الفيتنامي في المنصب19 فبراير 1951 – 2 سبتمبر 1969 لا أحد_ إنشاء المنصب إلغاء المنصب السكرتير الأو...

Squeaky Fromme

Cultist and failed presidential assassin Some of this article's listed sources may not be reliable. Please help improve this article by looking for better, more reliable sources. Unreliable citations may be challenged and removed. (January 2023) (Learn how and when to remove this message) Squeaky FrommeFromme as a high-school sophomore in 1964BornLynette Alice Fromme (1948-10-22) October 22, 1948 (age 75)Santa Monica, California, U.S.Other namesRedKnown forAttempted assassinati...

Maucourt (Oise)

MaucourtcomuneMaucourt – Veduta LocalizzazioneStato Francia RegioneAlta Francia Dipartimento Oise ArrondissementCompiègne CantoneNoyon TerritorioCoordinate49°38′13″N 3°04′30″E49°38′13″N, 3°04′30″E (Maucourt) Altitudine80 m s.l.m. Superficie3,1 km² Abitanti285[1] (2009) Densità91,94 ab./km² Altre informazioniCod. postale60640 Fuso orarioUTC+1 Codice INSEE60389 CartografiaMaucourt Sito istituzionaleModifica dati su Wikidata · Man...

Filippo Caracciolo

Filippo CaraccioloIl principe Filippo Caracciolo nel giugno del 1965VIII Principe di CastagnetoStemma In carica1938 –1965 PredecessoreCarlo Caracciolo, VII principe di Castagneto SuccessoreCarlo Caracciolo, IX principe di Castagneto III Duca di MelitoIn carica1912 –1965 PredecessoreNicola Caracciolo, II duca di Melito SuccessoreCarlo Caracciolo, IV duca di Melito Altri titoliPrincipe del Sacro Romano ImperoPatrizio Napoletano NascitaNapoli, 4 marzo 1903 MorteNapoli, 16 lug...

Luis Jiménez de Asúa

Luis Jiménez de Asúa di Santa Fe, Argentina, tahun 1958, ketika makan siang bersama Sebastián Soler. Di sebelah kirinya adalah Ángela Romero Vera, Domingo Buonocuore dan Guillermo Estévez Boero. Luis Jiménez de Asúa (19 Juni 1889 di Madrid - 16 November 1970 di Buenos Aires) adalah seorang juris dan politikus Spanyol. Ia adalah wakil presiden parlemen Spanyol dan perwakilan negara ini di Perserikatan Bangsa-Bangsa. Selama masa kediktatoran Franco, ia mengasingkan diri ke Argentina. Pad...

Westphalia

State part and historic region of North Rhine-Westphalia, Germany For other places named Westphalia, see Westphalia (disambiguation). State part and historic region of North Rhine-Westphalia in GermanyWestphalia WestfalenState part and historic region of North Rhine-Westphalia Prinzipalmarkt in Münster (1st row),Emperor William Monument at the Porta Westfalica and Wewelsburg castle (2nd row),Nordkirchen Castle and skyline of Dortmund (3rd row),town centre of Freudenberg (4th row) FlagCoat of...

/profillengkap.com/index.php/article/G. & C. Merriam Co. v. Syndicate Pub. Co.

/profillengkap.com/index.php/article/Alinghi 5

Daftar pemenang Miss Teen USA

Bangsa Nefi

St. Patrick's Catholic Church, San Francisco

Komisi I Dewan Perwakilan Rakyat Republik Indonesia

Nyi Roro Kidul

Scary Movie 3

العلاقات التشيكية الإستونية

Национальная музыка

Black (Lita Ford album)

Bitch (slang)