Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности

Теорема Больцано–Коши–Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Формулировка

Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.[1]

Доказательство

Пусть  — ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через . Тогда . Действительно, так как  — супремум множества , то для любого существует номер такой, что . Тогда при . Следовательно, . Теорема доказана.[2]

Примечания

  1. ↑ Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа Часть 1. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 73. — 648 с.
  2. ↑ Зорич, с.101-102

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.

Read other articles:

Biji (senjata nuklir)

Reka ulang sebuah bola plutoniun yang dilapisi tungsten karbida sebagai pemantul neutron, yang terlibat insiden reaksi nuklir tak terkendali pada 1945. Dalam senjata nuklir, biji adalah inti senjata nuklir bertipe implosi, yang terdiri dari bahan fisi dan pemantul neutron serta moderator neutron yang diikat pada bahan tersebut. Nama biji (Inggris: pit) diambil dari kemiripannya dengan biji keras buah seperti persik dan aprikot. Sebagian senjata nuklir tahun 1950an pernah dibuat menggunakan ur...

 

Geomicrobiology

Intersection of microbiology and geology The coccolithophore Gephyrocapsa oceanica may become an important carbon sink as the acidity of the ocean increases.[1] Geomicrobiology is the scientific field at the intersection of geology and microbiology and is a major subfield of geobiology. It concerns the role of microbes on geological and geochemical processes and effects of minerals and metals to microbial growth, activity and survival.[2] Such interactions occur in the geosphe...

 

Saint-Geoire-en-Valdaine

Saint-Geoire-en-Valdaine Vue de Saint-Geoire en Valdaine en février 2022 Héraldique Administration Pays France Région Auvergne-Rhône-Alpes Département Isère Arrondissement La Tour-du-Pin Intercommunalité Communauté d'agglomération du Pays voironnais Maire Mandat Nathalie Chollat-Rat, Épouse Beaufort 2020-2026 Code postal 38620 Code commune 38386 Démographie Gentilé Saint-Geoiriens / Saint-Geoiriennes Populationmunicipale 2 384 hab. (2021 ) Densité 142 hab./km2 Gé...

Basilika Santa Maria, Kraków

Bagian luar Basilika Basilika Santa Maria (bahasa Polandia: Kościół Mariacki), adalah basilika yang terletak di Krakow, Polandia. Basilika ini pertama kali dibangun pada abad ke-13 dan kemudian dibangun ulang pada abad ke-14. Basilika ini berdekatan dengan Alun-alun utama Krakow. Basilika ini memiliki tinggi 80 m (262 kaki) dan terkenal karena pahatan altarnya yang dibuat oleh Veit Stoss. Basilika ini muncul dalam buku The Trumpeter of Krakow (1929) karangan penulis Amerika, ...

 

趙家驤

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年 大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)（47—48歲） † 中華民國福建省金門縣国籍 中華民國政党 中國國民黨获奖 青天白日勳章（追贈）军事背景效忠 中華民國服役 國民革命軍 中華民國陸軍服役时间1924年－1958年军衔 二級上將 （追晉）部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

 

Ted Danson

American actor (born 1947) Ted DansonDanson in 2018BornEdward Bridge Danson III (1947-12-29) December 29, 1947 (age 76)San Diego, California, U.S.EducationStanford UniversityCarnegie Mellon University (BFA)OccupationsActorproduceractivistYears active1975–presentKnown forCheersThree Men and a BabyThree Men and a Little LadyBeckerThe Good PlaceSpouses Randall Gosch ​ ​(m. 1970; div. 1975)​ Cassandra Coates ​ ​(...

You're Mine (Eternal)

You're Mine (Eternal)Lagu oleh Mariah Careydari album Me. I Am Mariah... The Elusive ChanteuseDirilis12 Februari 2014 (2014-02-12)FormatUnduh digitalPenyiaran radioDirekamRapture StudiosMetrocity StudiosJungle City StudiosStudio di PalmsGenreR&BDurasi3:44LabelDef JamPenciptaMariah CareyRodney JerkinsProduserCareyDarkchild You're Mine (Eternal) adalah lagu dari musisi ternama Amerika Serikat, Mariah Carey dari album studionya yang keempat belas, Me. I Am Mariah... The Elusive Chanteus...

 

Arab League

Regional organization This article is about the regional organization. For the geographical region, see Arab world. League of Arab Statesجامعة الدول العربية (Arabic)Jāmiʿat ad-Duwal al-ʿArabiyya Flag Emblem Member states shown in dark greenAdministrative centerCairo, EgyptaOfficial languagesArabicDemonym(s)ArabTypeRegional organizationMembers Algeria Bahrain Comoros Djibouti Egypt Iraq Jordan Kuwait Lebanon Libya ...

 

Les Glaneurs et la Glaneuse

Les Glaneurs et la Glaneuse Données clés Réalisation Agnès Varda Scénario Agnès Varda Sociétés de production Ciné-Tamaris Pays de production France Genre Documentaire Durée 82 minutes Sortie 2000 Série Deux Ans après(2002) Pour plus de détails, voir Fiche technique et Distribution. modifier Les Glaneurs et la Glaneuse est un documentaire de la réalisatrice Agnès Varda sorti en France en 2000. Il s'intéresse aux glaneurs qui ratissent les champs fraîchement récoltés pour y ...

Thomas Diethart

Thomas Diethart Thomas Diethart nel 2014 Nazionalità  Austria Altezza 162 cm Peso 60 kg Salto con gli sci Squadra UVB Hinzenbach-Oberösterreich Termine carriera 2017 Palmarès Competizione Ori Argenti Bronzi Olimpiadi 0 1 0 Trofeo Vittorie Torneo dei quattro trampolini 1 trofeo Per maggiori dettagli vedi qui   Modifica dati su Wikidata · Manuale Thomas Diethart (Tulln an der Donau, 25 febbraio 1992) è un ex saltatore con gli sci austriaco. Indice 1 Biografia 2 Palmarès 2....

 

Повітряні сили Збройних сил України

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Мат...

 

Modèle:Palette LB Lambeth

v · mBorough londonien de Lambeth Districts Brixton Clapham Clapham Park Crystal Palace Gipsy Hill Grange Mills Herne Hill Kennington Knight's Hill Lambeth Loughborough Junction Norbury Oval South Bank South Lambeth Stockwell Streatham Streatham Vale Tulse Hill Upper Norwood Vauxhall Waterloo West Dulwich West Norwood Attractions Ashby's Mill BFI Southbank Chocolate Museum Garden Museum Florence Nightingale Museum Imperial War Museum Lambeth Archives Lambeth Palace London County Hall L...

Isidor Niflot

American wrestler Isidor NiflotPersonal informationFull nameIsidor Gadar NiflotNicknameJackBorn(1881-04-16)April 16, 1881Russian EmpireDiedMay 29, 1950(1950-05-29) (aged 69)Long Eddy, New York, U.S.Home townNew York, New York, U.S. Medal record Men's freestyle wrestling Representing the  United States Olympic Games 1904 St. Louis Bantamweight Isidor Gadar Jack Niflot (April 16, 1881 – May 29, 1950) was an American wrestler who competed in the 1904 Summer Olympics. He won...

 

Volkswagen Golf

Small family cars manufactured by Volkswagen Not to be confused with Volkswagen Gol. Motor vehicle Volkswagen GolfVolkswagen Golf Mk8OverviewManufacturerVolkswagenProduction1974–presentBody and chassisClassCompact car/small family car (C)ChronologyPredecessorVolkswagen Beetle (first generation only, until 1998)SuccessorVolkswagen ID.3 (for e-Golf) The Volkswagen Golf (listenⓘ) is a compact car/small family car (C-segment) produced by the German automotive manufacturer Volkswagen since 197...

 

Manggahan Floodway

River in Rizal, PhilippinesManggahan FloodwayManggahan Floodway in Pasig CityPasig-Marikina River basin with the Manggahan Floodway shown in cyan.LocationCountryPhilippinesRegionMetro Manila, RizalPhysical characteristicsSourceMarikina River • locationPasig, Metro Manila • coordinates14°35′56″N 121°05′25″E / 14.59889°N 121.09028°E / 14.59889; 121.09028 MouthLaguna de Bay • locationTaytay, Rizal ̶...

The Luck of Ginger Coffey (film)

For the novel, see The Luck of Ginger Coffey (novel). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Luck of Ginger Coffey film – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2019) (Learn how and when to remove this message) 1964 Canadian filmThe Luck of Ginger CoffeyDVD coverDirected byIrv...

 

Hermandad de la Mediadora (Málaga)

Venerable Hermandad de Nuestro Padre Jesús Nazareno Redentor del Mundo y Nuestra Señora Mediadora de la Salvación LocalizaciónPaís  EspañaLocalidad MálagaSede canónica Parroquia de San PatricioDatos generalesFundación 1997Titulares Nuestro Padre Jesús Nazareno Redentor del Mundo y Nuestra Señora Mediadora de la SalvaciónHermano Mayor Salvador de los Reyes RuedaHermanos 620Tronos 2Nazarenos 220Túnica Sección Señor:     Capirote y túnica negras...

 

منتخب تايلاند لكأس ديفيز

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يوليو 2019) منتخب تايلاند لكأس ديفيز منتخب تايلاند لكأس ديفيز البلد تايلاند  الكابتن Tanakorn Srichaphan تصنيف ITF 51 الألوان r...

Danjong di Joseon

DanjongRitratto di Danjong (c. 1927)Re di JoseonIn carica1452 –1455 Investituramaggio 1452 PredecessoreMunjong di Joseon SuccessoreSejo di Joseon Nome completoYi Hongwi Nascita9 agosto 1441 MorteContea di Yeongwol, 17 novembre 1457 (16 anni) SepolturaJangneung Luogo di sepolturaContea di Yeongwol Casa realecasato di Yi PadreMunjong di Joseon MadreHyeondeok di Joseon ConsorteJeongsun di JoseonSugui KimSugui Gwon Danjong (단종?, 端宗?, TanchongMR; nato Yi Hongwi (이홍위...

 

Agnes Salm-Salm

American wife of Prussian prince and soldier of fortune (1844-1912) Agnes, Princess of Salm-SalmAgnes Elizabeth of Salm-SalmBirth nameAgnes Elisabeth Winona Leclerc JoyBorn(1844-12-25)December 25, 1844Franklin, VermontDiedDecember 21, 1912(1912-12-21) (aged 67)Karlsruhe, Grand Duchy of BadenBuriedAlter Friedhof, Bonn 50°44′09″N 7°05′25″E / 50.7358°N 7.0903°E / 50.7358; 7.0903Allegiance United States of AmericaRankCaptain (US)Battles/warsAmerican Civil ...