Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Пусть ${\displaystyle (\mathbb {X} ,\,d)}$ — непустое полное метрическое пространство.

Пусть ${\displaystyle T\colon \mathbb {X} \to \mathbb {X} }$ — сжимающее отображение на ${\displaystyle \mathbb {X} }$, то есть существует число ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1}$ такое, что

${\displaystyle d(Tx,\,Ty)\leqslant \alpha d(x,\,y),}$ для всех ${\displaystyle x,\,y}$ из ${\displaystyle \mathbb {X.} }$

Тогда у отображения ${\displaystyle T}$ существует, и притом единственная, неподвижная точка ${\displaystyle x^{*}}$ из ${\displaystyle \mathbb {X} }$ (неподвижность ${\displaystyle x^{*}}$ означает , что ${\displaystyle Tx^{*}=x^{*}}$)^[1].

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число ${\displaystyle \alpha }$ равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства ${\displaystyle {x\in \mathbb {X} }}$ и рассмотрим последовательность ${\displaystyle x_{1}=Tx,\;x_{2}=Tx_{1},\;\ldots ,\;x_{n+1}=Tx_{n}}$.

Таким образом получим последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.

Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:

${\displaystyle d(x_{1},\,x_{2})=d(Tx,\,Tx_{1})\leqslant \alpha d(x,\,x_{1})=\alpha d(x,\,Tx),}$

${\displaystyle d(x_{2},\,x_{3})=d(Tx_{1},\,Tx_{2})\leqslant \alpha d(x_{1},\,x_{2})\leqslant \alpha ^{2}d(x,\,Tx),}$

${\displaystyle \ldots ,}$

${\displaystyle d(x_{n},\,x_{n+1})\leqslant \alpha ^{n}d(x,\,Tx).}$

По неравенству треугольника для ${\displaystyle d(x_{n},\,x_{n+p})\leqslant d(x_{n},\,x_{n+1})+d(x_{n+1},\,x_{n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},\,x_{n+p})\leqslant \alpha ^{n}(1+\alpha +\ldots +\alpha ^{p-1})d(x,\,Tx)={\frac {\alpha ^{n}-\alpha ^{n+p}}{1-\alpha }}d(x,\,Tx)}$.

Так как по условию ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, то ${\displaystyle d(x_{n},\,x_{n+p})<{\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x,\,Tx)}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle d(x_{n},\,x_{n+p})\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ и любом ${\displaystyle p>0}$.

Значит, последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ фундаментальна.

В силу полноты пространства ${\displaystyle \mathbb {X} }$ существует элемент ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {X} }$, являющийся пределом этой последовательности ${\displaystyle x_{0}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$.

Докажем, что ${\displaystyle Tx_{0}=x_{0}}$.

По неравенству треугольника, ${\displaystyle d(x_{0},\,Tx_{0})\leqslant d(x_{0},\,x_{n})+d(x_{n},\,Tx_{0})=d(x_{0},\,x_{n})+d(Tx_{n-1},\,Tx_{0})\leqslant d(x_{0},\,x_{n})+\alpha d(x_{n-1},\,x_{0})}$. Так как ${\displaystyle x_{0}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$, то для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ при достаточно большом ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(x_{0},\,x_{n})<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ и ${\displaystyle d(x_{0},\,x_{n-1})<{\frac {\varepsilon }{2}}}$. Так как ${\displaystyle \varepsilon >0}$ произвольно, то отсюда следует, что ${\displaystyle d(x_{0},\;Tx_{0})=0}$, то есть ${\displaystyle x_{0}=Tx_{0}}$, что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия ${\displaystyle T}$. Предположим, что существуют два различных элемента ${\displaystyle x_{0},\;y_{0}\in \mathbb {X} }$, такие, что ${\displaystyle Tx_{0}=x_{0},\;Ty_{0}=y_{0}}$. Тогда ${\displaystyle d(x_{0},\,y_{0})=d(Tx_{0},\,Ty_{0})\leqslant \alpha d(x_{0},\,y_{0})}$. Если допустить, что ${\displaystyle d(x_{0},\,y_{0})>0}$, то из предыдущего следует, что ${\displaystyle \alpha \geqslant 1}$. Но это противоречит условию ${\displaystyle \alpha <1}$. Таким образом, наше допущение что ${\displaystyle d(x_{0},\,y_{0})>0}$ неверно и ${\displaystyle x_{0}=y_{0}}$.

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Добавить иллюстрации. Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.