Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества C ^ ^ --> = C ∪ ∪ --> { ∞ ∞ --> } {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».[1]
При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , задаваемая уравнением x 2 + y 2 + z 2 = z {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=z} , со стереографической проекцией в плоскость O x y {\displaystyle Oxy} , отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.[1]
Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать ( ξ ξ --> , η η --> , ζ ζ --> ) ∈ ∈ --> R 3 {\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3}} . В R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} рассмотрим сферу S {\displaystyle S} , касающуюся плоскости O ξ ξ --> η η --> {\displaystyle O\xi \eta } в точке ( 0 ; 0 ; 0 ) {\displaystyle (0;0;0)} , с диаметром 1 {\displaystyle 1} . Такая сфера задаётся уравнением
Каждой точке плоскости ( ξ ξ --> ; η η --> ; 0 ) ∈ ∈ --> O ξ ξ --> η η --> {\displaystyle (\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta } можно поставить в соответствие точку сферы M ∈ ∈ --> S {\displaystyle M\in S} следующим образом. Проведём через точку N = ( 0 ; 0 ; 1 ) {\displaystyle N=(0;0;1)} и ( ξ ξ --> ; η η --> ; 0 ) {\displaystyle (\xi ;\eta ;0)} прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке ( ξ ξ --> ; η η --> ; 0 ) {\displaystyle (\xi ;\eta ;0)} . Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в N {\displaystyle N} . Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке N {\displaystyle N} не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью O ξ ξ --> η η --> {\displaystyle O\xi \eta } и S ∖ ∖ --> { N } {\displaystyle S\setminus \{N\}} .
Плоскость O ξ ξ --> η η --> {\displaystyle O\xi \eta } можно отождествить с комплексной плоскостью C {\displaystyle \mathbb {C} } , x + i y = ( ξ ξ --> , η η --> , 0 ) {\displaystyle x+iy=(\xi ,\eta ,0)} . Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение τ τ --> : : --> C → → --> S ∖ ∖ --> { N } {\displaystyle \tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\}} . Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество C {\displaystyle \mathbb {C} } ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки N {\displaystyle N} . Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } . Мы получили биекцию π π --> : : --> C ∪ ∪ --> { ∞ ∞ --> } → → --> S {\displaystyle \pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S} . Множество C ∪ ∪ --> { ∞ ∞ --> } {\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}} называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера S {\displaystyle S} — сферой Римана.[1]
Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по π π --> {\displaystyle \pi } , операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.
Сферой Римана называется сфера S {\displaystyle S} , задаваемая в пространстве R 3 {\displaystyle R^{3}} уравнением
вместе с отображением π π --> : : --> S → → --> C ∪ ∪ --> { ∞ ∞ --> } {\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \}} , задаваемым как
Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.
Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:
Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
Сфера Римана позволяет ввести на множестве C {\displaystyle \mathbb {C} } иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел z 1 , z 2 ∈ ∈ --> C {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }
Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.
Евклидова и сферические метрики эквивалентны на C {\displaystyle \mathbb {C} } . Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов z 1 , z 2 ∈ ∈ --> C ∪ ∪ --> { ∞ ∞ --> } {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}
Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.
Автоморфизмами области U ⊂ ⊂ --> C ∪ ∪ --> ∞ ∞ --> {\displaystyle U\subset \mathbb {C} \cup \infty } называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть
Дробно-линейное преобразование f : : --> C ∪ ∪ --> ∞ ∞ --> → → --> C ∪ ∪ --> ∞ ∞ --> {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty } определяется как
достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.
Дробно-линейные отображения на сфере Римана переводят окружности в окружности.[2]
Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ θ --> {\displaystyle \theta } отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. 0 < θ θ --> < π π --> / 2 {\displaystyle 0<\theta <\pi /2} (см. рис.)
В таком случае верны соотношения:
В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.
Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
Lokasi Pengunjung: 3.128.199.105