Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

Определения

Матрица $P=(P_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

\sum \limits _{j=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall i

Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

\sum \limits _{i=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall j

Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Свойства

Если $P$ и $Q$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $R=PQ$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда $\sum _{i=1}^{n}c_{ij}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}(\sum _{i=1}^{n}a_{ik})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}=1$ , поскольку матрицы A и B стохастические.

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица $P=(P_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N$ называется регуля́рной, если существует такое $n\in \mathbb {N}$ , что

p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N

где $p_{ij}^{(n)}$ — элементы $n$ -ой степени матрицы $P$ , то есть $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ .

Эргодическая теорема

Если $P$ — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор $\mathbf {\pi } =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})$ такой, что

P^{n}\to \mathbf {1} ^{\top }\mathbf {\pi }

где $\mathbf {1} =(1,\ldots ,1)$ — вектор размерности $1\times N$ , состоящий из единиц.

Read other articles:

José de Calasanz Vives y Tutó

José de Calasanz Vives y TutóPrefek Kongregasi RelijiusGerejaGereja Katolik RomaPenunjukan26 Oktober 1908Masa jabatan berakhir7 September 1913PendahuluTidak ada - jabatan dibentukPenerusOttavio Cagiano de AzevedoJabatan lainKardinal-Deakon Sant'Adriano al Foro (1899-1913)ImamatTahbisan imam26 Mei 1877oleh Florian-Jules-Félix DesprezPelantikan kardinal19 Juni 1899oleh Paus Leo XIIIPeringkatKardinal-DeakonInformasi pribadiNama lahirJosé de Calasanz Félix Jaime Vives y TutóLahir15 Feb...

Carmen, Surigao del Sur

Peta menunjukkan lokasi Carmen Carmen adalah munisipalitas yang terletak di provinsi Surigao del Sur, Filipina. Pada tahun 2010, munisipalitas ini memiliki populasi sebesar 10.078 jiwa dan 2.159 rumah tangga. Pembagian wilayah Secara administratif Carmen terbagi menjadi 8 barangay, yaitu: Sta. Cruz Puyat Antao Cancavan Esperanza Hinapuyan Gacub Pranala luar Philippine Standard Geographic Code Diarsipkan 2012-04-13 di Wayback Machine. 1995 Philippine Census Information Diarsipkan 2011-06-24 di...

Strada statale 17 var/A Isernia-Castel di Sangro

Strada statale 17var/AIsernia-Castel di SangroLocalizzazioneStato Italia Regioni Molise Province Isernia DatiClassificazioneStrada statale InizioSP21 presso Miranda FineSS652 presso Rionero Sannitico Lunghezza18,7 km Data apertura2011 GestoreANAS PercorsoLocalità serviteIsernia, Castel di Sangro Principali intersezioniSS652 Manuale La strada statale 17 var/A Isernia-Castel di Sangro è una strada statale italiana. La strada costituisce una variante a scorrimento veloce della s...

Microsoft OneNote

onenote.comBerkas:Onenote.comCatatan dibuat dan diatur di onenote.comURLonenote.comTipePerangkat lunak pencatatPerdagangan ?TidakRegistration (en)DiperlukanLisensiperangkat lunak gratis Bagian dariMicrosoft Office PemilikMicrosoftWeb DeveloperMicrosoft Corporation Service entry (en)2003 Peringkat Alexa 6,181 (Desember 2019[update]) Microsoft OneNoteBerkas:Microsoft OneNote Catatan yang dibuat dan diorganisasi dalam OneNote aplikasi UWP, berjalan pada Windows 10Tipeaplikasi note-t...

العلاقات البالاوية السريلانكية

العلاقات البالاوية السريلانكية بالاو سريلانكا بالاو سريلانكا تعديل مصدري - تعديل العلاقات البالاوية السريلانكية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين بالاو وسريلانكا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه ا...

Ali Yusuf Siregar

Ini adalah nama Batak Angkola, marganya adalah Siregar. Ali Yusuf Siregar Bupati Deli Serdang ke-15PetahanaMulai menjabat 6 Desember 2023PresidenJoko WidodoGubernurEdy RahmayadiWakil BupatiTidak ada, belum ditentukan PendahuluAshari TambunanPenggantiPetahana Informasi pribadiLahir9 Maret 1961 (umur 63)Lumban Dolok, Siabu, Mandailing Natal, Sumatera UtaraKebangsaanIndonesiaPartai politikNasDemSuami/istriSri Pepeni HandayaniAnak4Alma materUniversitas Darma AgungUniversitas Medan Ar...

Reclaim Australia

Reclaim AustraliaReclaim Australia unjuk rasa di Martin Place, Sydney, April 2015Tanggal pendirian2015TujuanAnti-IslamNasionalisme AustraliaUltranasionalismePolitik kanan jauhLokasiSydneyMelbourneLokasiBrisbaneAdelaideWilayah New South Wales, Victoria, Queensland, Australia Selatan, Wilayah Ibu Kota Australia Reclaim Australia adalah kelompok protes nasionalis sayap kanan Australia yang terkait dengan kelompok kebencian nasionalis dan neo-Nazi.[1][2] Kelompok itu dibentuk pada...

Athletics at the 2016 Summer Olympics – Men's hammer throw

Olympic athletics event Men's hammer throwat the Games of the XXXI OlympiadDilshod Nazarov (2017)VenueEstádio Olímpico João HavelangeDates17–19 August 2016Competitors32 from 24 nationsWinning distance78.68Medalists Dilshod Nazarov Tajikistan Ivan Tsikhan Belarus Wojciech Nowicki Poland← 20122020 → Athletics at the2016 Summer OlympicsQualificationTrack events100 mmenwomen200 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen5000 mmenwomen10...

CNN International

CNN InternationalDiluncurkan1 September 1985PemilikWarnerMediaSloganThis is CNNGo ThereThe Most TrustedName in NewsKantor pusatAtlanta, London, Hong KongSaluran seindukCNNCNN-IBNCNN Airport NetworkCNN TürkCNN en EspañolHLNCNN ChileCNN IndonesiaCNN+TNTTurner Classic MoviesCartoon NetworkBoomerangTruTVTBSSitus webcnni.com CNN International adalah stasiun televisi kabel yang didirikan oleh Ted Turner & Reese Schonfeld. CNN International adalah stasiun televisi berita International terbesar...

Utnapishtim

Tablet ke-XI dari Epos Gilgamesh yang menerangkan kisah banjir Utnapishtim. Utnapishtim atau Utanapishtim (bahasa Akkadia: 𒌓𒍣) adalah seorang tokoh dari mitologi Mesopotamia dalam Epos Gilgamesh yang ditugaskan oleh Dewa Ea (Enki) untuk membangun kapal raksasa bernama Pelindung Kehidupan sebagai persiapan untuk banjir bandang yang dapat menghapus seluruh kehidupan yang ada di muka bumi.[1] Kisah Nabi Nuh dalam Agama-Agama Samawi serupa dengan kisahnya. Kisahnya Dewa Agung En...

National Basketball Association 1968-1969

Questa voce o sezione sull'argomento competizioni cestistiche non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. National Basketball Association 1968-1969Dettagli della competizioneSport Pallacanestro OrganizzatoreNBA Periodo15 ottobre 1968 —5 maggio 1969 Squadre14 (in 2 gironi) VerdettiTitolo East Boston Celtics Titolo West L.A. Lakers Ca...

Bloch MB 60

Bloch MB 60DescrizioneTipoaereo postale Equipaggio3 ProgettistaIng. PineauMarcel Riffard Costruttore Bloch Data primo volo12 settembre 1930 Data entrata in servizio1931 Esemplari1 Altre variantiBloch MB 61 Dimensioni e pesiLunghezza11,730 m Apertura alare18,744 m Altezza3,0 m Superficie alare42,48 m² Peso a vuoto1 660 kg Peso max al decollo2 650 kg PropulsioneMotore3 Lorraine-Dietrich 5Pc Potenza120 CV (88 kW) ciascuno i dati sono estratti da Dassault Aviation[1] voci di ae...

2022 Rhode Island House of Representatives election

Not to be confused with 2022 United States House of Representatives elections in Rhode Island. 2022 Rhode Island House of Representatives election ← 2020 November 8, 2022 (2022-11-08) 2024 → All 75 seats in the Rhode Island House of Representatives38 seats needed for a majority Majority party Minority party Third party Leader Joe Shekarchi Michael Chippendale Jon D. Brien Party Democratic Republican Independent Leader since January 5, 2...

Daftar hewan yang menampilkan perilaku homoseksual

Informasi lebih lanjut: Perilaku homoseksual pada hewan Berikut adalah hewan-hewan yang menampilkan perilaku homoseksual. Ini adalah daftar dinamis, yang mungkin tidak dapat memuaskan standar tertentu untuk kelengkapan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya dengan menambahkan klaim yang diberikan sumber tepercaya. Mamalia Artikel utama: Daftar mamalia yang menampilkan perilaku homoseksual Mamalia yang dipilih dari daftar penuh Bison[1] Beruang cokelat[2] Tikus cokelat ...

Siti palafitticoli preistorici attorno alle Alpi

Bene protetto dall'UNESCOSiti palafitticoli preistorici dell'arco alpino Patrimonio dell'umanità TipoCulturali Criterio(iii) (iv) PericoloNon in pericolo Riconosciuto dal2011 Scheda UNESCO(EN) Prehistoric Pile dwellings around the Alps(FR) Sites palafittiques préhistoriques autour des Alpes Manuale Statua di un abitante delle palafitte, Unteruhldingen I Siti palafitticoli preistorici dell'arco alpino sono una serie di 111 siti archeologici palafitticoli localizzati sulle Alpi o n...

Mexican-American cuisine

Culinary traditions of Mexican Americans Tacos are a common food in the Mexican cuisine Part of a series onChicanos and Mexican Americans Terms Identity Chola/o La Raza Pachuca Pachuco Pinta/o Xicanx Concepts Anti-Mexican sentiment History Early-American Period Josefa Segovia Las Gorras Blancas Mexican–American War Mutualista San Elizario Salt War Sonoratown Treaty of Guadalupe Hidalgo Pre-Chicano Movement 1917 Bath riots Bisbee Deportation Bloody Christmas Bracero program California agricu...

Shintaro Ishihara

Shintaro Ishihara石原慎太郎 Anggota Gedung RepresentatifPetahanaMulai menjabat 2012Daerah pemilihanblok RP TokyoMasa jabatan1972–1995Daerah pemilihandistrik Tokyo ke-2Gubernur TokyoMasa jabatan23 April 1999 – 31 Oktober 2012PendahuluYukio AoshimaPenggantiNaoki InoseAnggita Gedung KonselorMasa jabatan1968–1972 Informasi pribadiLahir(1932-09-30)30 September 1932Kobe, JepangPartai politikPartai Restorasi Jepang (2012-present)Afiliasi politiklainnyaPartai Matahari Terbit ...

Бонин (острова)

Иное название этого понятия — «Огасавара»; см. также другие значения. У этого термина существуют и другие значения, см. Бонин. Бониняп. 小笠原群島 Характеристики Количество островов41 Крупнейший островТитисима Общая площадь94 км² Население2440 чел. Плотность...

Ascona

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Ascona (disambigua). Asconacomune Ascona – VedutaIl lungolago LocalizzazioneStato Svizzera Cantone Ticino DistrettoLocarno AmministrazioneSindacoGiorgio Gilardi (PLR) Lingue ufficialiItaliano TerritorioCoordinate46°09′25″N 8°46′25″E46°09′25″N, 8°46′25″E (Ascona) Altitudine205 m s.l.m. Superficie5,0 km² Abitanti5 515 (31-12-2016) Densità1 103 ab./km² FrazioniMonte Veri...

White Dwarf (magazine)

Fantasy games magazine For other uses, see White dwarf (disambiguation). This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article is written like a personal reflection, personal essay, or argumentative essay that states a Wikipedia editor's personal feelings or presents an original argument about a topic. Please help improve it by rewriting it in an encyclopedic style. (January 2013) (Learn ho...

/profillengkap.com/index.php/article/1797 Connecticut gubernatorial election

Katedral Corrientes

Djalma Cavalcante

التأثيرات على العمارة القوطية

2015 CONCACAF Gold Cup

Putri Nabila

Bastian Steel

Vetri (film)

العلاقات الأرمينية الزيمبابوية

Uskup

United Progressive Alliance

Onge