Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ как предел взаимозависимых последовательностей ${\displaystyle \{a_{N}\}}$, ${\displaystyle \{b_{N}\}}$, где:

${\displaystyle a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}}$

${\displaystyle a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}}$

…

${\displaystyle a_{N}={\frac {a_{N-1}+b_{N-1}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{N-1}b_{N-1}}}}$

имеют при ${\displaystyle N\to \infty }$ один и тот же предел^[1][2]:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }a_{N}=\lim _{N\to \infty }b_{N}=M(a,b)}$.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника^[3].

Часто используется сокращение ${\displaystyle M(x)=M(x,1)}$. В частности ${\displaystyle M(x,y)=yM(x/y,1)=yM(x/y)}$.

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — (общий) предел (убывающей) последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и (возрастающей) последовательности ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle x_{0}=x}$, ${\displaystyle y_{0}=y}$ и ${\displaystyle z_{0}=0}$.

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$

${\displaystyle y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}}$

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС^[как?], такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса ${\displaystyle L}$ с полуосями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b)}},}$

где ${\displaystyle M(x;y)}$ — АГС чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle N(x;y)}$ — МАГС чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода^[3].

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа ${\displaystyle \pi }$. Например, по формуле Гаусса — Саламина^[4]:

${\displaystyle \pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j}c_{j}^{2}}},}$

где ${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)}$, ${\displaystyle a_{0}=1}$, ${\displaystyle b_{0}={\sqrt {2}}}$.

В то же время, если взять:

${\displaystyle a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha }$,

то

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}}}$,

где ${\displaystyle K(\alpha )}$ есть полный эллиптический интеграл

${\displaystyle K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\frac {1}{2}}}d\theta }$.

То есть ${\displaystyle \pi }$ выражается формулой:

${\displaystyle \pi ={\frac {M({\sqrt {2}})^{2}}{N(2)-1}}}$,

где ${\displaystyle M(x)}$ — АГС 1 и ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle N(x)}$ — МАГС 1 и ${\displaystyle x}$^[3].

Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена^[5], Брент предложил^[6] первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций (${\displaystyle e^{x},\cos x,\sin x}$). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами^[7].