PROFILPELAJAR.COM

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве $(\mathbb {M} ,d)$ определено отображение $A:\mathbb {M} \to \mathbb {M}$ . Оно называется сжимающим на $\mathbb {M}$ , если существует такое неотрицательное число $\alpha <1$ , что для любых двух точек $x,y\in \mathbb {M}$ выполняется неравенство

{d(Ax,Ay)\leqslant \alpha \,d(x,y)}

.

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Теорема Банаха о сжимающем отображении

Пусть $\left(\mathbb {M} ,\,d\right)$ — полное метрическое пространство. Пусть $A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M}$ — сжимающее отображение $\mathbb {M}$ в себя. Тогда уравнение $x=Ax$ имеет единственное решение $x^{\ast }\in \mathbb {M}$ , причём

x^{\ast }=\lim _{n\to \infty }x_{n}

для всякой последовательности $\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ , удовлетворяющей рекуррентному соотношению $x_{n+1}=Ax_{n}$ , при любом выборе начальной точки $x_{0}$ из $\mathbb {M}$ . Более того, если $\alpha$ — коэффициент сжатия отображения $A$ , то справедлива следующая оценка погрешности вычисления $x^{*}$ с помощью элементов последовательности $\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ :

d(x_{n},x^{*})\leqslant {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}\,d(x_{0},x_{1}).

^[1]

Свойства

(Непрерывность) Пусть $\mathbb {} A$ — сжимающее отображение метрического пространства $(\mathbb {M} ,d)$ . Тогда $\mathbb {} A$ — непрерывная функция на $\mathbb {M}$ .

(Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

\mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}

.

(Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент $x$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов $x,Ax,A^{2}x,....$ , то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения $A$ .

Применение

Численное решение уравнений
Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Примечания

↑ Эта оценка выводится в процессе доказательства теоремы, см. Колмогоров, Фомин, 2004, с. 82.

Ссылки

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.