Регулярное локальное кольцо

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка алгебраического многообразия является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ростков рациональных функций в точке регулярно.

Эквивалентные определения

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если  — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом , следующие определения эквивалентны:

  • Пусть где выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). регулярно, если
  • Пусть  — поле вычетов кольца . Тогда регулярно, если
,
Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.
,
в этом случае всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры

  • Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
  • Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
  • Более общо, кольцо формальных степенных рядов  — регулярное локальное кольцо размерности d.
  • Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов регулярны.
  • Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например,  — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
  • Пополнение[англ.] регулярного кольца регулярно.

Свойства

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если  — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

,

где , а  — размерность Крулля.

Происхождение основных определений

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году,[1] однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского,[2][3] который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f1,…,fm. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂fi/∂xj)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Примечания

  1. Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745—766
  2. Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187—221
  3. Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1—52

Литература

Read other articles:

Untuk kegunaan lain, lihat Bumi (disambiguasi). BumiAlbum studio karya NugieDirilis1 September 1995DirekamMPR Studio, CipeteGenrePopAlternative RockDurasi34:48 (versi kaset)39:49 (versi CD)LabelAquarius MusikindoProduserKaton BagaskaraNugieKronologi Nugie Pancasila Senjataku! (1984)'Pancasila Senjataku!'1984 Bumi (1995) Air (1996)'Air'1996 Bumi adalah album perdana dari penyanyi Nugie sebagai penyanyi dewasa (sebelumnya merilis album sebagai penyanyi cilik) yang dirilis pada tahun 1995. S...

 

 

2023 Chilean filmPapá al rescateTheatrical release posterDirected byMarcos CarnevaleWritten bySebastián FreundRodrigo MuñozProduced byIgnacio ReyJuan PelosiRocío GortSebastián FreundStarringBenjamín VicuñaJorge ZabaletaCinematographyEnrique StindtEdited byLuis BarrosMusic byCamilo SalinasCristián HeyneProductioncompaniesRizoma FilmsFrontera FilmsLeyenda FilmsRelease date January 5, 2023 (2023-01-05) Running time100 minutesCountriesChileArgentinaLanguageSpanish The Lulú...

 

 

Beauty pageant edition Miss World 1987Miss World 1987 TitlecardDate12 November 1987PresentersPeter Marshall, Alexandra BastedoEntertainmentRick AstleyVenueRoyal Albert Hall, London, UKBroadcasterThames TelevisionEntrants78[1]Placements12DebutsBelize, Cook IslandsWithdrawalsAntigua and Barbuda, British Virgin Islands, Gambia, Sierra Leone, TongaReturnsArgentina, Curaçao, Nigeria, Papua New GuineaWinnerUlla Weigerstorfer[2][3] Austria← 19861988 U...

العلاقات البحرينية الكورية الجنوبية البحرين كوريا الجنوبية   البحرين   كوريا الجنوبية تعديل مصدري - تعديل   العلاقات البحرينية الكورية الجنوبية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين البحرين وكوريا الجنوبية.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه �...

 

 

Italian football club Football clubUSD LavagneseFull nameUnione Sportiva Dilettante Lavagnese 1919Founded1919GroundStadio Edoardo Riboli,Lavagna, ItalyCapacity1250ChairmanStefano CompagnoniManagerGianni NuceraLeagueSerie D/A2018-19Serie D/A, 10th Home colours Away colours Unione Sportiva Dilettante Lavagnese 1919 is an Italian association football club located in Lavagna, Liguria. It currently plays in Serie D. History Regional Serie C Unione Sportiva Dilettanti Lavagnese was founded in 1919,...

 

 

L’ingénierie environnementale est la branche de l'ingénierie qui étudie les problèmes de la planète de forme scientifique et intégrée, considérant ses dimensions scientifiques: chimiques, physiques, écologiques, biologiques, géologiques, sociales, économiques et technologiques, avec l'objectif de promouvoir un développement durable. Il s'agit d'une branche des sciences environnementales basée sur la création, application et gestion des procédures, produits et services technol...

Beauty pageant Miss Guatemala 2009DateMay 25, 2009VenueAuditorio Nacional, Guatemala City, GuatemalaBroadcasterGuatevisiónEntrants24WinnerLourdes Elisa Figueroa Araujo Ciudad Capital The Miss Guatemala 2009 pageant was held on May 25, 2009 at Auditorio Nacionalin the capital city Guatemala City, Guatemala. This year only 24 candidates were competing for the national crown. The chosen winner will represent Guatemala at the Miss Universe 2009 and at Miss Continente Americano 2009. The winner o...

 

 

Thai football club This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (March 2020) (Learn how and when to remove this message) Football clubBangkok UnitedFull nameTrue Bangkok United Football ClubNickname(s)แข้งเทพ(Bangkok Angels)Short nameBUFCFounded1988; 36 years ago (1988), as Bangkok University Football Club2009; 15...

 

 

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Tourism in Sweden – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2012) (Learn how and when to remove ...

Health professional Not to be confused with Lactation counselor. Teaching the importance of breastfeeding in a nutrition rehabilitation clinic in Madhya Pradesh, India A lactation consultant is a health professional who specializes in the clinical management of breastfeeding. The International Board of Lactation Consultant Examiners (IBLCE) certifies lactation consultants who meet its criteria and have passed its exam.[1] Description Lactation consultants are trained to assist parents...

 

 

Cet article est une ébauche concernant le droit. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Note de service (mémo) de la Préfecture de Saône-et-Loire. Un mémorandum ou mémo est un document ou autre communication qui aide la mémoire par enregistrement d'événements ou d'observations sur un sujet dans une organisation : indications plus ou moins détaillées données par un cadre à un de ses col...

 

 

جودفري (بالفرنسية: Godefroi de Bouillon)‏  معلومات شخصية الميلاد 1060بولوني سور مير الوفاة يوليو 18, 1100القدس سبب الوفاة قتل في معركة  مكان الدفن كنيسة القيامة  مواطنة مملكة بيت المقدس الإمبراطورية الرومانية المقدسة  إخوة وأخوات بالدوين الأول  أقرباء خودفري الرابع، دوق لو...

Sixth and last age of the Late Cretaceous For other uses, see Maastrichtian (disambiguation). Maastrichtian72.1 ± 0.2 – 66.0 Ma PreꞒ Ꞓ O S D C P T J K Pg N Opening of the western Indian Ocean in the MaastrichtianChronology−140 —–−130 —–−120 —–−110 —–−100 —–−90 —–−80 —–−70 —–MesozoicCZJCretaceousPgLJEarlyL...

 

 

Rye

Species of grain Not to be confused with ryegrass. For other uses, see Rye (disambiguation). Rye Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Monocots Clade: Commelinids Order: Poales Family: Poaceae Subfamily: Pooideae Genus: Secale Species: S. cereale Binomial name Secale cerealeL. Synonyms Secale fragile M.Bieb. Rye (Secale cereale) is a grass grown extensively as a grain, a cover crop and a forage crop. It is grown principally in an area f...

 

 

Artikel ini bukan mengenai Talium. 69TmTuliumTulium tersublimasi dendritis dan kubus tulium 1 cm3 Garis spektrum tuliumSifat umumPengucapan/tulium/[1] Penampilanabu-abu keperakanTulium dalam tabel periodik 69Tm Hidrogen Helium Lithium Berilium Boron Karbon Nitrogen Oksigen Fluor Neon Natrium Magnesium Aluminium Silikon Fosfor Sulfur Clor Argon Potasium Kalsium Skandium Titanium Vanadium Chromium Mangan Besi Cobalt Nikel Tembaga Seng Gallium Germanium Arsen Selen Bromin Kripton Ru...

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (فبراير 2022) بوتاميرات اعتبارات علاجية معرّفات CAS 18109-80-3  ك ع ت R05DB13  بوب كيم 28892  ECHA Inf...

 

 

Zappeion hosted the fencing events for the 1896 Summer Olympics in Athens. Schermzaal: fencing hall for the 9th Olympiad, Amsterdam (1928) St Kilda Town Hall hosted the fencing events for the 1956 Summer Olympics in Melbourne. Olympic Green Convention Center hosted the fencing events for the 2008 Summer Olympics in Beijing. For the Summer Olympics, there are 31 venues that have been or will be used for fencing. Games Venue Other sports hosted at venue for those games Capacity Ref. 1896 Athen...

 

 

Australian state election 1988 Victorian state election ← 1985 1 October 1988 (1988-10-01) 1992 → All 88 seats in the Victorian Legislative Assembly45 seats needed for a majorityand 22 (of the 44) seats in the Victorian Legislative Council   First party Second party Third party   Leader John Cain Jr. Jeff Kennett Peter Ross-Edwards Party Labor Liberal National Leader since 9 September 1981 26 October 1982 17 June 1970 Leader's seat Bund...

بطولة أمريكا المفتوحة 1988 - الزوجي المختلط جزء من أمريكا المفتوحة 1988  البلد الولايات المتحدة  التاريخ 1988  الرياضة كرة المضرب  حامل(ة) اللقب مارتينا نافراتيلوفا وإميليو سانشيز البطل(ة) يانا نوفوتنا جيم بف الوصيف(ة) إليزابيث سميلي باتريك ماكنرو النتيجة 7–5، 6–3 بطولة...

 

 

Pour des articles plus généraux, voir Histoire de la Suisse depuis 1914, Seconde Guerre mondiale et Opération Tannenbaum. Buste du général Henri Guisan à Avenches. L'histoire de la Suisse pendant la Seconde Guerre mondiale a lieu de manière indirecte. La Suisse n'a pas été occupée pendant la Seconde Guerre mondiale ni par les membres de l'Axe ni par les Alliés, malgré le haut risque d'une invasion de celle-ci le 24 juin 1940 par l'Allemagne nazie, qui planifia l'opération Tannen...