Простой модуль

В теории колец, простой модуль (также используется название «неприводимый модуль») над кольцом R — это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом (ненулевым элементом), совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины, в этом смысле они похожи на простые группы.

Примеры

  • Простой Z-модуль — это абелева группа, которая не имеет подгрупп, то есть группа простого порядка Zp.
  • Идеал I кольца R прост как модуль над этим кольцом тогда и только тогда, когда этот идеал минимален (не содержит других идеалов, кроме нулевого). Соответственно, факторкольцо R/I просто тогда и только тогда, когда идеал I максимален.
  • Любой простой R-модуль изоморфен фактормодулю R/m, где m — некоторый максимальный идеал кольца R.[1] Действительно, простой модуль порождается ненулевым элементом x, то есть существует сюръективный гомоморфизм RM, отправляющий r в rx. Ядро этого гомоморфизма — идеал в кольце R, остается применить теорему о гомоморфизме. Предыдущее свойство показывает, что этот идеал максимален.
  • Если k — поле и G — группа, то представления этой группы — это в точности левые модули над групповым кольцом k[G]. Простые модули в данном контексте известны как неприводимые представления. Основная цель теории представлений — описание всех неприводимых представлений группы.

Свойства

Каждый простой модуль является неразложимым, обратное в общем случае неверно. Также простой модуль является циклическим.

Пусть M и N — модули над одним и тем же кольцом и f : MN — гомоморфизм модулей. Если M прост, то f либо является нулевым, либо инъективен. Действительно, ядро гомоморфизма должно быть подмодулем. Если же и N прост, то f либо нулевой, либо является изоморфизмом. Следовательно, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом. Этот результат известен как лемма Шура.

Теорема плотности Джекобсона

Важное достижение теории простых модулей — теорема Джекобсона о плотности (1945). Она утверждает, что

Пусть U — простой R-модуль, обзначим D = EndR(U). Пусть A — произвольный D-линейный оператор на U и X — конечное D-линейно независимое подмножество U. Тогда существует элемент r кольца R, такой что x·A = x·r для всех x в X.[2]

Другими словами, всякое ненулевое простое кольцо, обладающее минимальными правыми идеалами, изоморфно плотному кольцу линейных преобразований конечного ранга некоторого векторного пространства над некоторым телом[3].

В частности, любое примитивное кольцо можно рассматривать как кольцо D-линейных операторов на некотором пространстве.

Из теоремы плостности следует теорема Веддербёрна о том, что правое артиново простое кольцо изоморфно кольцу матриц n на n над телом. Также она является следствием теоремы Артина — Веддербёрна о том, что полупростые кольца изоморфны произведению колец матриц.

См. также

Примечания

  1. Herstein, Non-commutative Ring Theory, Lemma 1.1.3
  2. Isaacs, Theorem 13.14, p. 185
  3. Курош, 1973, с. 251.
  • I.N. Herstein. Noncommutative rings (неопр.). — 1st edition. — The Mathematical Association of America, 1968. — ISBN 0-88385-015-X.
  • I. Martin Isaacs. Algebra, a graduate course (неопр.). — 1st edition. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2.

Литература

  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973. — 393 с.

Read other articles:

For the rugby union competition, see Cheshire RFU Cup. Football tournamentCheshire Senior CupFounded1879–80RegionCheshireNumber of teams27Current championsCongleton Town(3rd title)Most successful club(s)Macclesfield Town (21 titles)WebsiteCheshire FA The Cheshire County Football Association Challenge Cup, commonly known as the Cheshire Senior Cup, is a football knockout tournament founded in the 1879–80 season and involves teams from Cheshire, Greater Manchester and Merseyside, England. I...

 

 

الجامعة العربية الأمريكية شعار الجامعة العربية الأمريكية (فلسطين) صورة جوية لحرم الجامعة الرئيسي في جنين عام 2017 معلومات التأسيس 2000 (منذ 24 سنة) الموقع الجغرافي إحداثيات 32°24′24″N 35°20′36″E / 32.406666666667°N 35.343333333333°E / 32.406666666667; 35.343333333333  المدينة محافظة جنين ومحافظة �...

 

 

Cet article est une ébauche concernant le droit français. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Article 65 de la Constitution du 4 octobre 1958 Données clés Présentation Pays France Langue(s) officielle(s) Français Type Article de la Constitution Adoption et entrée en vigueur Législature IIIe législature de la Quatrième République française Gouvernement Charles de Gaulle (3e) Promulgation 4...

Native American people of the Northern California coast For other uses, see Ohlone (disambiguation). Ohlone (Costanoan) PeopleMap of the Ohlone peoples and their neighborsTotal population1770: 10,000–20,0001800: 30001852: 864–10002000: 1500–2000+2010: 3,853[1]2020: 3,993[2]Regions with significant populationsCalifornia: San Francisco, Santa Clara Valley, East Bay, Santa Cruz Mountains, Monterey Bay, Salinas ValleyLanguagesOhlone (Costanoan): Awaswas, Chalon, Chochenyo, K...

 

 

Medical specialty For the scientific journal, see Urology (journal). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Urology – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2009) (Learn how and when to remove this template message) UrologistUrologist performing a TURPOccupationOccupation typeSpecial...

 

 

Mario Monti Perdana Menteri ItaliaMasa jabatan16 November 2011 – 28 April 2013PresidenGiorgio Napolitano PendahuluSilvio BerlusconiPenggantiEnrico LettaKomisioner Eropa untuk PersainganMasa jabatan15 September 1999 – 30 Oktober 2004PresidenRomano Prodi PendahuluKarel Van MiertPenggantiNeelie KroesKomisioner Eropa untuk Pasar Internal, Jasa, Bea Cukai dan PerpajakanMasa jabatan18 Januari 1995 – 15 September 1999PresidenJacques SanterManuel Marín PendahuluRanie...

Partizan Belgrade 2013–14 football seasonPartizan Belgrade2013–14 seasonPresidentDragan ĐurićHead coachVuk Rašović(until 15 December 2013)Marko NikolićStadiumPartizan StadiumSerbian SuperLiga2ndSerbian CupQuarter-finalsChampions LeagueThird qualifying roundEuropa LeaguePlay-off roundTop goalscorerLeague: Nemanja Kojić & Petar Škuletić(7 goals)All: Nemanja Kojić (8)Highest home attendancevs Red Star Belgrade (30,000) (26.4.2014)Lowest home attendancevs Metalac (2,000) (25.9.2...

 

 

President of South Vietnam from 1955 to 1963 In this Vietnamese name, the surname is Ngô, but is often simplified to Ngo in English-language text. In accordance with Vietnamese custom, this person should be referred to by the given name, Diệm. Ngô Đình DiệmOfficial portrait, 19561st President of South VietnamIn office26 October 1955 – 2 November 1963Vice PresidentNguyễn Ngọc ThơPreceded byPosition establishedBảo Đại as Chief of the State of VietnamSucceeded by...

 

 

Election in Delaware 2018 United States House of Representatives election in Delaware, At-large district ← 2016 November 6, 2018 2020 → Turnout50.84%   Candidate Lisa Blunt Rochester Scott Walker Party Democratic Republican Popular vote 227,353 125,384 Percentage 64.3% 35.4% County results Precinct resultsRochester:      50–60%      60–70%      70–80%      ...

Chemical compound Not to be confused with ethanedione or ethenedione. EthadioneClinical dataATC codeN03AC03 (WHO) Identifiers IUPAC name 3-Ethyl-5,5-dimethyl-1,3-oxazolidine-2,4-dione CAS Number520-77-4 YPubChem CID10630ChemSpider10184 YUNIII0F8O700BBKEGGC17724 YChEMBLChEMBL93047 YCompTox Dashboard (EPA)DTXSID90199972 ECHA InfoCard100.007.544 Chemical and physical dataFormulaC7H11NO3Molar mass157.169 g·mol−13D model (JSmol)Interactive image SMILES O=C1N(C...

 

 

Church in Hertfordshire, England Not to be confused with Church of St John the Baptist, Royston, South Yorkshire. Church in United KingdomParish Church of St. John the Baptist and St. Thomas of Canterbury[1]St. John the Baptist, RoystonParish Church of St. John the Baptist and St. Thomas of Canterbury[1]Shown within Hertfordshire52°02′52″N 0°01′21″W / 52.0479°N 0.0226°W / 52.0479; -0.0226CountryUnited KingdomDenominationChurch of EnglandWebs...

 

 

Multi-role (anti-fortification, anti-armor) rocket launcher Mk 153 Shoulder-Launched Multipurpose Assault Weapon Mk 153 SMAW and munition casing.TypeMulti-role (anti-fortification, anti-armor) rocket launcherPlace of originUnited StatesService historyIn service1984–presentUsed bySee OperatorsWarsOperation Just CauseGulf WarWar in AfghanistanIraq WarYemeni Civil WarRusso-Ukrainian WarProduction historyDesignerMcDonnell DouglasManufacturerNammo Talley (formerly Talley Defe...

 烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/(英文) 乌克兰 乌克兰政府与政治系列条目 宪法 政府 总统 弗拉基米尔·泽连斯基 總統辦公室 国家安全与国防事务委员会 总统代表(英语:Representatives of the President of Ukraine) 总...

 

 

Syahrial B.P. Peliung Informasi pribadiLahir6 Juni 1950 (umur 73)Lubuklinggau, Sumatera SelatanAlma materAkademi Militer (1973)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan DaratMasa dinas1973–2006Pangkat Mayor Jenderal TNINRP26508SatuanInfanteriPertempuran/perangOperasi SerojaSunting kotak info • L • B Mayor Jenderal TNI (Purn.) Syahrial B.P. Peliung (lahir 6 Juni 1950) adalah seorang Purnawirawan TNI-AD yang terakhir menjabat sebagai Panglima Komando ...

 

 

German historian, writer and politician (1769–1860) You can help expand this article with text translated from the corresponding article in German. Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not translate t...

German air raids on Belfast in World War II Belfast BlitzPart of the Strategic bombing campaign of World War IIRescue workers searching through rubble after an air raid on BelfastDate7 April – 6 May 1941 (1941-04-07 – 1941-05-06)LocationBelfastBelligerents  United Kingdom  GermanyCommanders and leaders Winston Churchill Adolf Hitler Casualties and losses ~1,000 killed~1,500 injured30–50,000 houses damaged vteThe Blitz (1940–1941)The Blitz Belfas...

 

 

Ongoing COVID-19 viral pandemic in Nigeria COVID-19 pandemic in NigeriaDiseaseCOVID-19Virus strainSARS-CoV-2LocationNigeriaFirst outbreakWuhan, Hubei, China[1]Index caseLagosArrival date27 February 2020(4 years, 3 months, 2 weeks and 6 days ago)Confirmed cases267,188[2]Recovered207,254[3]Deaths3,155[2]Fatality rate1.18%Vaccinations92,261,510[2] (total vaccinated)79,729,922[2] (fully vaccinated)130,894,625[2] (doses ad...

 

 

Battle of YenangyaungPart of the Burma campaign, the South-East Asian theatre of World War II, the Second Sino-Japanese War and the Pacific Theater of World War IIThe Japanese conquest of Burma (the left red arrow represents Japanese movements to Yenangyaung)Date (1942-04-16) (1942-04-19)16–19 April 1942(3 days)LocationYenangyaung, BurmaResult Allied victoryBelligerents  China United Kingdom  India  JapanCommanders and leaders Sun Li Jen Liu Fangwu James Scott John ...

American baseball player (born 1984) Baseball player Mark HamiltonHamilton with the St. Louis CardinalsFirst basemanBorn: (1984-07-29) July 29, 1984 (age 39)Baltimore, Maryland, U.S.Batted: LeftThrew: LeftMLB debutSeptember 20, 2010, for the St. Louis CardinalsLast appearanceJuly 6, 2011, for the St. Louis CardinalsMLB statisticsBatting average.197Home runs0Runs batted in4 Teams St. Louis Cardinals (2010–2011) Mark Alan Hamilton (born July 29, 1984) is an ...

 

 

Estadio Gran Parque Central Informazioni generaliStato Uruguay UbicazioneMontevideo Inizio lavori1900 Inaugurazione1900 Ristrutturazione1911, 1944, 1980 e 2006 ProprietarioTransatlántica (1900-1937) Nacional (dal 1937) Informazioni tecnichePosti a sedere30000[1] Mat. del terrenoErba Dim. del terreno105 m x 68 m Uso e beneficiariCalcio Nacional Deutscher (1900-1909) Mappa di localizzazione Modifica dati su Wikidata · Manuale Lo stadio Gran Parque Central è u...