Групповое кольцо

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо $K[G]$ — это свободный модуль над кольцом $K,$ базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы $G,$ умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.

Определение

Пусть $K$ — кольцо, а $G$ — группа. Тогда групповым кольцом $K[G]$ называется множество конечных формальных сумм вида $\alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$ , которые складываются и умножаются следующим образом:

Если $\alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\ \beta =\sum _{g\in G}b_{g}g$ , то

\alpha +\beta =\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\sum _{g\in G}\left(\sum _{xy=g, \atop x,y\in G}a_{x}b_{y}\right)g

Свойства

Если $K$ и $G$ коммутативны, то $K[G]$ коммутативно.
Если $K$ — кольцо с единицей, то $K[G]$ — кольцо с единицей.
Вложение $G$ в $K[G]$ образует базис группового кольца.
Если $H$ — подгруппа $G$ , то $K[H]$ — подкольцо кольца $K[G]$ .
Пусть $K$ является полем, тогда каждому элементу $G$ можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства $K[G]$ — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.

Литература

Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
Наймарк М. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.

Read other articles:

The Strain (franchise)

For other uses, see The Strain (disambiguation). The StrainCreated byGuillermo del ToroChuck HoganOriginal workThe Strain (2009)Print publicationsComics The Strain (2011–2015) Mister Quinlan – Vampire Hunter (2016–2017) Films and televisionTelevision seriesThe Strain (2014–2017) The Strain is an American vampire horror media franchise created by Guillermo del Toro and Chuck Hogan. Del Toro first envisioned the story line as a television series, but was unable to find a br...

Daftar Wakil Bupati Pulau Taliabu

Wakil Bupati Pulau TaliabuPetahanaRamlisejak 26 Februari 2021Masa jabatan5 tahun dan dapat dipilih kembali untuk satu kali masa jabatanDibentuk17 Februari 2016; 8 tahun lalu (2016-02-17)Pejabat pertamaRamliSitus webSitus web resmi Berikut adalah daftar Wakil Bupati Pulau Taliabu secara definitif sejak tahun 2016. Nomor urut Wakil Bupati Potret Partai Awal Akhir Masa jabatan Periode Bupati Ref. 1 Ramli(lahir 1959) Non Partai 17 Februari 2016 26 September 2020 4 tahun, 222...

Rochester, Vermont

Town in Vermont Town in Vermont, United StatesRochester, VermontTownCivil War memorial in The Park in the center of townMotto: The heart of the Green MountainsLocation in Windsor County and the state of Vermont.Rochester, VermontLocation within the U.S.A.Coordinates: 43°52′34″N 72°48′44″W / 43.87611°N 72.81222°W / 43.87611; -72.81222CountryUnited StatesStateVermontCountyWindsorChartered1781; 243 years ago (1781)Area • Tota...

Ségou

SégouCommune and townSégou WorkersCountry MaliRegionSégouCercleSégou CercleLuas[1] • Total37 km2 (14 sq mi)Ketinggian294 m (965 ft)Populasi (2009 census)[2] • Total130.690 • Kepadatan3,500/km2 (9,100/sq mi)Zona waktuUTC+0 (GMT) Tomb of Biton Mamary Coulibaly at Ségou-Koro Entrance to the palace of Ahmadu Tall at Ségou-Sikoro in around 1866 Ségou (Seku, Segu) merupakan kota di selatan-pusat Mali,...

Confine tra il Burundi e la Repubblica Democratica del Congo

Confine tra il Burundi e la Repubblica Democratica del CongoLocalizzazione del Burundi (in verde) e della RD del Congo (in arancione).Dati generaliStati Burundi RD del Congo Dati storiciIstituito nel1894 Attuale dal1910 Manuale Il confine tra il Burundi e la Repubblica Democratica del Congo ha una lunghezza di 236 km e va dal triplice confine con la Tanzania a sud, fino al triplice confine con il Ruanda a nord[1]. Indice 1 Descrizione 2 Storia 3 Attraversamento del conf...

Bir Sreshtho

Highest military award of Bangladesh AwardBir Sreshtho (BS)Bir SreshthoTypeMilitary medalAwarded forBravery Dedication of Life to Save the Mother Land.To those who have performed acts of greatest heroism or most conspicuous courage in circumstances of extreme danger and have shown bravery of the highest order or devotion to the country, in the presence of the enemy on land, at sea or in the air to save the motherland.DescriptionBir Sreshtho (The Most Valiant Hero)Presented byBangladeshEligibi...

Namma Metro

Rapid transit system in Bengaluru, Karnataka, India Namma MetroNamma Metro trains on the Purple Line and Green LineOverviewOwnerBengaluru Metro Rail Corporation Limited (BMRCL)LocaleBengaluruTransit typeRapid transitLine numberOperational Purple Line Green Line Under Construction Yellow Line Pink Line Blue Line Under Planning Orange Line Grey Line Red Line Number of stations66[1]Daily ridershipAverage: 6,36,000 (Apr 2023-Mar 2024)[2]Annual ridership232.8 million (2023)[3&#...

ソー (オー＝ド＝セーヌ県)

Sceaux 行政国フランス地域圏 (Région) イル＝ド＝フランス地域圏県 (département) オー＝ド＝セーヌ県郡 (arrondissement) アントニー郡小郡 (canton) 小郡庁所在地INSEEコード 92071郵便番号 92330市長（任期）フィリップ・ローラン（2008年-2014年）自治体間連合 (fr) メトロポール・デュ・グラン・パリ人口動態人口 19,679人（2007年）人口密度 5466人/km2住民の呼称 Scéens地理座標北緯48度4...

Carpool Karaoke: The Series

American TV series or program Carpool Karaoke: The SeriesGenreRealityCreated by Ben Winston James Corden Based onCarpool Karaokeby Ben Winston &James CordenDirected by Benjamin Green Blake Webster Country of originUnited StatesOriginal languageEnglishNo. of seasons5No. of episodes75 (list of episodes)ProductionExecutive producers Ben Winston James Corden Eric Pankowski Producers Benjamin Green Diana Miller Running time12–23 minutesProduction companies Fulwell 73 CBS Studios Original re...

Иерусалимская православная церковь

Иерусалимский патриархатгреч. Πατριαρχείον Ιεροσολύμων араб. كَنِيسَة أُورُشَلِيمَ الأُرْثُوذُكسِيَّة‎ ивр. הכניסייה האורתודוקסית של ירושלים‎ Храм Гроба Господня, Иерусалим Общие сведения Основатели Апостолы (согласно церковному преданию) Основание I век Конфе...

世界政區索引

此條目可能包含不适用或被曲解的引用资料，部分内容的准确性无法被证實。 (2023年1月5日)请协助校核其中的错误以改善这篇条目。详情请参见条目的讨论页。各国相关主題列表索引国内生产总值石油储量国防预算武装部队（军事）官方语言人口統計人口密度生育率出生率死亡率自杀率谋杀率失业率储蓄率识字率出口额进口额煤产量发电量监禁率死刑国债 ...

Point Lay, Alaska

CDP in Alaska, United StatesPoint Lay, Alaska KaliCDP1940sLocation of Point Lay, AlaskaPoint LayShow map of AlaskaPoint LayShow map of North AmericaCoordinates: 69°44′28″N 162°51′56″W / 69.74111°N 162.86556°W / 69.74111; -162.86556CountryUnited StatesStateAlaskaBoroughNorth SlopeGovernment • Borough mayorHarry K. Brower, Jr. • State senatorDonny Olson (D) • State rep.Tom Baker (R)Area[1] • Total32.29&...

Likud

Likudהַלִּכּוּד Presidente Benjamín NetanyahuFundador Menájem BeguínFundación 1973(alianza electoral)1988(partido unificado)Partidos fusionados HerutPartido Liberal (Israel)Centro LibreLista NacionalMovimiento por el Gran IsraelIdeología Conservadurismo[1]Liberalismo nacionalista[2][3][4][5]Liberalismo económico[6]Populismo de derecha[7]Sionismo[8]Histórico:Conservadurismo liberal[9]Conservadurismo nacional[10]...

Charles Aznavour

« Aznavour » redirige ici. Pour les autres significations, voir Aznavour (homonymie). Charles AznavourCharles Aznavour en 2014.FonctionAmbassadeur d'Arménie (d)Suisse12 février 2009 - 1er octobre 2018BiographieNaissance 22 mai 19246e arrondissement de ParisDécès 1er octobre 2018 (à 94 ans)MourièsSépulture Cimetière de Montfort-l'AmauryNom de naissance Charles AznavourianNationalités arménienne (à partir de 2008)françaiseDomicile Saint-SulpiceActivités Auteur-com...

عبور البحر الأحمر

عبور البحر الأحمرمعلومات عامةجزء من Exodus 13 (en) Exodus 14 (en) تيه جانب من جوانب Reed Sea (en) تيه الشخص المؤثر مُوسَى المكان Reed Sea (en) اليوم السنوي للمناسبة 21 Nisan (en) كائن الحدوث Reed Sea (en) تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات ميّز عن عبور نهر الاردن. خريطة لمسارات العبور المتوقعة عبور �...

غورنيي كليوتشي

غورنيي كليوتشي علم الإحداثيات 45°14′40″N 133°30′00″E / 45.244444444444°N 133.5°E / 45.244444444444; 133.5 تاريخ التأسيس 1895 تقسيم إداري البلد روسيا[1][2] عدد السكان عدد السكان 4207 (2023)[3] معلومات أخرى منطقة زمنية ت ع م+10:00 692085 رمز الهاتف 42354 رمز...

ごくせん

この項目では、漫画およびそれを原作としたテレビアニメについて説明しています。同作を原作としたテレビドラマについては「ごくせん (テレビドラマ)」をご覧ください。この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: ごくせん –...

Symphonic black metal

Symphonic black metalOrigini stilisticheBlack metalMusica classicaGothic metal Origini culturaliScandinavia, metà degli anni novanta. Strumenti tipiciVoceChitarraBassoTastieraBatteria PopolaritàPrevalentemente underground, ma alcune formazioni hanno ottenuto buoni consensi di pubblico Generi correlatiBlack metal - Symphonic metal Il black metal sinfonico o symphonic black metal è un sottogenere del black metal sorto intorno alla metà degli anni novanta.[1] A seconda del gruppo pu�...

Fotbollsallsvenskan 1933/1934

AllsvenskanSäsong1933/1934VinnareHälsingborgs IF(4:e allsvenska titeln)(2:a SM-titeln)NedflyttadeIS HalmiaMalmö FF (diskvalificerade)StatistikBästa målgörareSven Jonasson, IF Elfsborg (20)[1]Åskådarantal i snitt6 555[1]← 1932/1933 1934/1935 → AIK Eskilstuna Sandviken Örgryte Göteborg Gais Halmia Halmstad Elfsborg Hälsingborg Malmö FF Gefle Placering av deltagande lag, allsvenskan 1933/1934. Fotbollsallsvenskan 1933/1934 hade tolv lag och därmed 22 omgångar. Dock disk...

Malvaceae

Family of flowering plants MalvaceaeTemporal range: Campanian - recent[1] PreꞒ Ꞓ O S D C P T J K Pg N Least mallow, Malva parviflora Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Rosids Order: Malvales Family: MalvaceaeJuss.[2] Subfamilies See List of Malvaceae genera Bombacoideae Brownlowioideae Byttnerioideae Dombeyoideae Grewioideae Helicteroideae Malvoideae Sterculioideae Tilioideae Synonyms[3] Bombaca...