Преобразование Фолди — Ваутхайзена (представление Фолди — Ваутхайзена[К 1], преобразование ФВ, преобразование FW[7])[3][2] — унитарное преобразование, которое позволяет представить уравнение Дирака (для биспиноров) в виде пары двухкомпонентных уравнений (спиноров), которые в нерелятивистском пределе переходят в уравнение Паули и уравнение для отрицательных энергий[8]. В представлении ФВ соотношения между операторами динамических величин аналогичны соотношениям для классических величин (координаты, испульсы, скорости)[9][10]. Имело историческое значение, применялось для решения парадоксов, возникающих в теории Дирака, и интерпретации операторов координаты, скорости, спина, момента импульса[11][12].
Было сформулировано Лесли Лоуренсом Фолди и Зигфридом Адольфом Ваутхайзеном в 1949 году для понимания нерелятивистского предела уравнения Дирака, уравнения для частиц со спином 1/2[13][14][15][16]. Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди — Ваутхайзена при интерпретации частиц, описываемых релятивистскими волновыми уравнениями, содержится в статье Р. Ачарье и Дж. Сударшана (1960)[17]. Его полезность в физике высоких энергий в настоящее время ограничена из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.
Уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2 записывают в виде (здесь и далее скорость света приравнена к 1)[18]
где — эрмитовы матрицы Дирака размера 4 × 4, которые должны антикоммуритовать {αi,αj} = 2δij, {αi,βj} = 0, а квадрат каждой из матриц должен быть равен 1[19]. В теории Дирака операторы трёх компонент оператора импульса , гамильтониана , оператора спина , полного углового момента , чётности имеют хорошую физическую интерпретацию[20], однако операторы орбитального момента и компоненты оператора спина не являются интегралами движения. Последние сохраняются по отдельности только в нерелятивистском пределе. Причина такого поведения относится к интерференции состояний с положительной и отрицательной энергиями[21]. Другими величинами, которые имеют сложности интерпретации в одночастичном картине являются, координата, скорость. Для уравнения Дирака скорость частицы описывается операторами αi и может принимать только два значения ±c. То есть отсутствует аналогия между операторами скорости и импульса, которые должны наблюдаться в нерелятивистском пределе согласно принципу соответствия[22]. Фолди и Ваутхайзен предложили решение этого несоответствия путём выбора нового представления уравнения Дирака, в котором уравнение представляет собой две системы уравнений с положительной и отрицательной энергиями, и которые дают уравнение Паули в нерелятистском пределе и частицу с отрицательной энергией[8].
ля покоящейся частицы p = 0, поэтому оператор β определяет знак энергии и гамильтониан диагонален по спинорам. Для того чтобы оператор β отвечал за знак энергии для свободной движущейся частицы нужно использовать другое представление, которое исключало бы нечётные операторы, которые смешивают спиноры[К 2], α из гамильтониана. Такое представление было найдено Морисом Прайсом[англ.], С. Тани (англ.Smio Tani), Фолди и Ваутхайзеном, которые использовали каноническое преобразование для частицы со спином 1/2[16]. Теперь оно известно как преобразование Фолди — Ваутхайзена. Краткий отчёт об истории представления можно найти в некрологах Фолди и Ваутхайзена[24][25] и биографических мемуарах Фолди[26]. До их работы существовала некоторая трудность в понимании и выборе всех членов, отвечающих за взаимодействия заданного порядка малости, например, для частицы Дирака во внешнем поле. Благодаря их методу физическая интерпретация операторов в гамильтониане стала ясной, и появилась возможность систематически применять их метод к ранее не поддающихся решению задач[27][28]. Преобразование Фолди — Ваутхайзена было распространено на физически важные случаи частиц со спином 0 и спином 1[29], и обобщено на случай частиц с произвольным спином[30].
где унитарный оператор — это 4 × 4 матрица[32][33]
(2)
где — единичная матрица, — единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона[33]. Вышеупомянутое связано с матрицами Дирака соотношениями β = γ0 и αi = γ0γi, где i = 1, 2, 3. Простое разложение в ряд с применением свойств коммутативности матриц Дирака показывает, что верно утверждение (2) выше[1]. Обратное преобразование равно
Преобразование ФВ является непрерывным, то есть можно использовать любое значение θ по своему выбору. Теперь возникает отдельный вопрос о выборе конкретного значения для θ, что равносильно выбору конкретного вида представления. Если выбрать[36]
(6)
так что (5) сводится к диагонализованному (это предполагает, что β берётся в представлении Дирака — Паули (Поля Дирака, Вольфганга Паули), в котором это матрица диагональна)
(7)
После тригонометрических преобразований, (6) также подразумевает, что
(8)
так что использование (8) в (7) теперь приводит к следующему сокращению[36]
(9)
До того, как Фолди и Ваутхайзен опубликовали своё преобразование, уже было известно, что (9) является гамильтонианом в представлении Ньютона — Вигнера (НВ) (названном в честь Теодора Дадделла Ньютона и Юджина Вигнера) уравнения Дирака. Таким образом, (9) говорит о том, что, применяя преобразование ФВ к представлению Дирака — Паули уравнения Дирака, а затем выбирая параметр непрерывного преобразования θ так, чтобы диагонализировать гамильтониан, то можно прийти к НВ-представлению уравнения Дирака, потому что НВ само уже содержит гамильтониан, указанный в (9)[37].
Если рассматривать массу на оболочке — фермионную или иную — заданную выражением m2 = pσpσ и использовать метрический тензор Минковского, для которого diag(η) = (+1, −1, −1, −1), то выражение
эквивалентно компоненте E ≡ p0 4-импульса pμ, так что (9) альтернативно определяется как [36].
Соответствие между представлениями Дирака — Паули и Ньютона — Вигнера для покоящегося фермиона
Пусть фермион покоится, что означает фермион, для которого . Для (6) или (8) это означает, что cos 2θ = 1, так что θ = 0, ±π, ±2π, а для (2) — что унитарный оператор U = ±I. Следовательно, любой оператор O в представлении Дирака — Паули, над которым выполняется биунитарное преобразование, для покоящегося фермиона будет иметь вид
(10)
В отличие от исходного гамильтониана Дирака — Паули
с гамильтонианом НВ (9) находится «в покое» соответствует
Для получения оператора скорости в представлении Дирака — Паули необходимо вычислить коммутатор канонических операторов координат с гамильтонианом [22]
Cобственные значения оператора равны ±1, что соответствует собственным значениям операторов компонент скорости света ±c, хотя в действительности скорость может принимать любые значения в промежутке от −c до +c. Операторы также не коммутируют между собой, что означет принципиальную невозможность одновременно измерить две любые компоненты скорости. Кроме того, в представлении Дирака — Паули, для понятий скорости и импульса отсутствуют обычные, аналогичные
существующим в релятивистской классической механике связи между операторами скорости и импульса. А именно, вышеприведённое соотношение не принимает нерелятивистский аналог выражения для скорости Отличие понятий скорости и импульса в теории Дирака непосредственно связаны с интерференцией состояний с различными знаками энергии[22].
Полное решение уравнения Дирака для свободной частицы представляет собой линейную суперпозипию состояний с разными знаками энергии . Для состояния в виде суперпозиции двух стационарных состояний с одинаковыми квантовыми числами, но с разными знаками энергии [38]
где A1 и A2 — амплитуды, а решения ψ(+) и ψ(−) — ортогональны. Ток вероятности зависит от времени
где
(13)
определяет колебательное движение, известное как «дрожащее движение»[38]. Это слагаемое осложняет одночастичную интепретацию полученного результата, что физиченски означает влияние эффектов рождения виртуальных (и реальных) электронно-дырочных пар при приближении к электрону на расстояние меньше чем комптоновский радиус[39].
В представлении Ньютона — Вигнера
Теперь в представлении Ньютона — Вигнера можно вычислить оператор координаты . Для выбранного оператора преобразования Фолди — Ваутхайзена в виде[36]
которое можно разбить на два оператора. Первые два слагаемые в (15) отвечают за чётную часть оператора и соответствует оператору «среднего положения». Последние слагаемые отвечают за дрожащее движение и нечётную часть оператора[40]. В нерелятивистском пределеле оператор среднего положения соответствует обычной координате[41]. Возможно выбрать координату в представлении Паули — Дирака таким образом, чтобы он принял вид [42]
(16)
который обладает следующими свойствами:
Скорость или производная этого оператора по времени определяется соглавно[42][43]
Операторы динамических переменных в старом и новом представлениях[13]
Преобразование Фолди — Ваутхайзена, первоначально разработанное для уравнения Дирака, нашло применение во многих ситуациях, таких как акустика и оптика. Оно нашло применение в самых разных областях, таких как атомные системы[45][46]синхротронное излучение[47] и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков[48]. Применение преобразования Фолди — Ваутхайзена в акустике весьма естественно; учитывает полноту и математическую строгость[49][50][51].
В традиционной схеме цель разложения оптического гамильтониана
в ряд с использованием в качестве параметра разложения следует понимать распространение квазипараксиального луча с точки зрения ряда приближений (параксиальных и непараксиальных). Аналогично обстоит дело и в оптике заряженных частиц. В релятивистской квантовой механике возникает аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (первого порядка по времени) это удобнее всего делать с помощью преобразования Фолди — Ваутхайзена, приводящего к итерационному методу диагонализации. Основной метод недавно разработанных формализмов оптики (как световой оптики, так и оптики заряженных частиц) основан на методе преобразования теории Фолди — Ваутхайзена, который приводит уравнение Дирака к форме, отображающей различные члены взаимодействия между частицей Дирака и частицей Дирака. прикладное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.
В теории Фолди — Ваутхайзена уравнение Дирака посредством канонического преобразования разделяется на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Паули[52] в нерелятивистском пределе, а другое описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать матричное представление уравнений Максвелла в стиле Дирака. В такой матричной форме можно применить метод Фолди — Ваутхайзена[53][54][55][56][57].
Эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной лучевой оптической системы[58]. Метод Фолди — Ваутхайзена идеально подходит для алгебраического подхода Ли в оптике. Несмотря на все эти плюсы, а также мощное и недвусмысленное расширение, преобразование Фолди — Ваутхайзена до сих пор мало используется в оптике. Метод преобразования Фолди — Ваутхайзена приводит к так называемым нетрадиционным методам в оптике Гельмгольца[59] и оптики Максвелла[60]. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависящим от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую основу оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные методы геометрической оптики во многом аналогичны квантовой теории оптики пучков заряженных частиц[61][62][63][64]. В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в зависимости от длины волны между оптикой света и оптикой заряженных частиц[65][66].
↑Гамильтониан после преобразования представляет собой блочно-диагональный вид. Те операторы, которые не смешивают разные блоки, отвечающие за спиноры, называются чётными, а смешивающие верхние и нижние спиноры — нечётными[23].
↑Силенко А. Я. Сравнительный анализ методов прямого и “шаг за шагом” преобразования Фолди–Ваутхойзена // Теоретическая и математическая физика. — 2013. — Т. 176. — С. 189—204. — doi:10.4213/tmf8468.
↑ 12Tani, S. (1951). "Connection between particle models and field theories. I. The case spin 1⁄2". Progress of Theoretical Physics. 6: 267—285. doi:10.1143/ptp/6.3.267.
↑Acharya, R.; Sudarshan, E. C. G. (1960). "Front Description in Relativistic Quantum Mechanics". Journal of Mathematical Physics. 1 (6): 532—536. doi:10.1063/1.1703689.
↑Case, K. M. (1954). "Some generalizations of the Foldy–Wouthuysen transformation". Physical Review. 95: 1323—1328. doi:10.1103/PhysRev.95.1323.
↑Jayaraman, J. (1975). "A note on the recent Foldy–Wouthuysen transformations for particles of arbitrary spin". Journal of Physics A. 8: L1–L4. doi:10.1088/0305-4470/8/1/001.
↑Costella, J. P.; McKellar, B. H. J. (1995). "The Foldy–Wouthuysen transformation". American Journal of Physics. 6: 1119—1121. doi:10.1119/1.18017.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
↑Lippert, M.; Bruckel, Th.; Kohler, Th.; Schneider, J. R. (1994). "High-Resolution Bulk Magnetic Scattering of High-Energy Synchrotron Radiation". Europhysics Letters. 27 (7): 537—541. doi:10.1209/0295-5075/27/7/008. S2CID250889471.
↑Heinemann, K. The semiclassical Foldy–Wouthuysen transformation and the derivation of the Bloch equation for spin-1⁄2 polarized beams using Wigner functions // Proceedings of the 15th Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop on Quantum Aspects of Beam Physics, 4–9 January 1998, Monterey, California, USA / K. Heinemann, D. P. Barber. — Singapore : World Scientific, 1999. — P. physics/9901044.
↑Fishman, L. (1992). "Exact and operator rational approximate solutions of the Helmholtz, Weyl composition equation in underwater acoustics—the quadratic profile". Journal of Mathematical Physics. 33 (5): 1887—1914. doi:10.1063/1.529666.
↑Fishman, L. One-way wave equation modeling in two-way wave propagation problems // Mathematical Modelling of Wave Phenomena 2002, Mathematical Modelling in Physics, Engineering and Cognitive Sciences / Nilsson ; Fishman. — Växjö, Sweden : Växjö University Press, 2004. — Vol. 7. — P. 91–111.
↑Wurmser, D. (2004). "A parabolic equation for penetrable rough surfaces: using the Foldy–Wouthuysen transformation to buffer density jumps". Annals of Physics. 311 (1): 53—80. doi:10.1016/j.aop.2003.11.006.
↑Majorana, E. (1974). Unpublished notes, quoted in Mignani, R.; Recami, E.; Baldo, M. (2008). "About a Dirac-like Equation for the Photon, According to Ettore Majorana". Lettere al Nuovo Cimento. 11 (12): 568—572. doi:10.1007/bf02812391. S2CID122510061.
↑Conte, M.; Jagannathan, R.; Khan, S. A.; Pusterla, M. (1996). "Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment". Particle Accelerators. 56: 99—126.
Pantai Banyutowo Penduduk lokal berekreasi melihat matahari terbit di dermaga Pantai Banyutowo Lokasi di Indonesia Informasi Lokasi Kabupaten Pati Negara indonesia Koordinat 6°26′44″S 111°01′15″E / 6.445680°S 111.020696°E / -6.445680; 111.020696Koordinat: 6°26′44″S 111°01′15″E / 6.445680°S 111.020696°E / -6.445680; 111.020696 Pengelola Pemkab Pati Dibuat oleh Pemkab Pati Jenis objek wisata Wisata pantai Fasilitas &...
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Februari 2023. SDN 007 NongsaInformasiJenisSekolah NegeriAlamatLokasiJl. Simpang PTK, kampung Panau, Batam, Kepri, IndonesiaMoto SDN 007 Nongsa, merupakan salah satu Sekolah Menengah Dasar Negeri yang ada di Provinsi Kepulauan Riau, yang beralamat di Jl. Simpa...
Untuk lomba balap mobil sport, lihat Grand Prix Portland (balap mobil sport). Grand Prix PortlandIndyCar SeriesTempatPortland International RacewayPerusahaan sponsornoneLomba pertama1984Lomba pertamaICS2018Jarak tempuh21.604 mi (34.768 km)Jumlah putaran110Nama sebelumnyaStroh's 200 (1984–1985)Budweiser/G.I. Joe's 200 (1986, 1988–1992, 1994)Budweiser/G.I. Joe's 200 Presented by Texaco (1987, 1993, 1995–1999)Freightliner/G.I. Joe's 200 Presented by Texaco (2000–2001)G.I. Joe's...
العلاقات البوتانية الليختنشتانية بوتان ليختنشتاين بوتان ليختنشتاين تعديل مصدري - تعديل العلاقات البوتانية الليختنشتانية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين بوتان وليختنشتاين.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للد�...
Супрасльский Ирмологион Лист из Жировицкого Ирмологиона. 1620-е гг. Антон Абрамович — белорусский композитор, который одним из первых начал создавать национально-характерные произведения, в основе которых мелодии белорусских народных песен и танцев Почтовая марка СССР. ...
Fireproof textile Apollo pressure suit before (left), and after the addition of Beta cloth (right) Pete Conrad in the Skylab shower in 1973 behind the Skylab shower enclosure which was made of Beta cloth stretched between rings. Micrometeoroid impacts in Beta cloth Beta cloth with lunar dust Beta cloth is a type of fireproof PTFE impregnated silica fiber cloth used in the manufacture of Apollo/Skylab A7L space suits, the Apollo Thermal Micrometeoroid Garment, the McDivitt Purse,[1] an...
Questa voce sull'argomento musicisti italiani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Giulio Cesare Barbetta Giulio Cesare Barbetta (Padova, 1540 – 1603) è stato un liutista e compositore italiano. Indice 1 Biografia 2 Opere 3 Bibliografia 4 Voci correlate 5 Altri progetti 6 Collegamenti esterni Biografia Giulio Cesare Barbetta fu essenzialmente un liutista, certamente fra i più noti del 15...
Activities to build emotional intelligence This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Emotional thought method – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2019) (Learn how and when to remove this template message) This article may require copy editing for grammar, style, cohesion, tone, or s...
The following is a timeline of the history of the city of Baltimore, Maryland, USA. 18th century 1729 - Town of Baltimore founded. 1752 - 25 houses and 200 inhabitants.[1] 1763 - Mechanical Fire Company organized.[2] 1767 - Baltimore designated county seat.[1] 1770 - Henry Fite House built. 1773 - Maryland Journal, and the Baltimore Advertiser newspaper begins publication.[3] 1775 - Population: 5,934 1776 - December - Second Continental Congress meeting begins...
41st Air Refueling Squadron(later 41st Expeditionary Air Refueling Squadron)Squadron KC-135A Stratotanker at RAF MildenhallActive1944; 1944–1946; 1947–1949; 1958–1993Country United StatesBranch United States Air ForceRoleAir refuelingEngagementsPacific Theater of OperationsDecorationsDistinguished Unit CitationAir Force Outstanding Unit AwardInsigniaPatch with 41st Air Refueling Squadron emblem41st Bombardment Squadron emblem[a][1]Military unit The 41st Expedi...
2019 American musical drama streaming television series SoundtrackGenreMusical dramaCreated byJoshua SafranStarring Paul James Callie Hernandez Marianne Jean-Baptiste Jenna Dewan Jahmil French Megan Ferguson Isaiah Givens Madeleine Stowe Campbell Scott Composers Andrew McMahon Zac Clark James S. Levine Country of originUnited StatesOriginal languageEnglishNo. of seasons1No. of episodes10ProductionExecutive producers Joshua Safran Megan Ellison Ali Krug ProducerEllen Marie BlumCinematography J...
Численность населения республики по данным Росстата составляет 4 003 016[1] чел. (2024). Татарстан занимает 8-е место по численности населения среди субъектов Российской Федерации[2]. Плотность населения — 59,00 чел./км² (2024). Городское население — 76,72[3] % (20...
معركة البريقة الثالثة جزء من حرب ثورة 17 فبراير خريطة الثورة الليبية معلومات عامة التاريخ 31 مارس - 7 أبريل 2011 البلد ليبيا الموقع بلدة البريقة30°24′32″N 19°34′24″E / 30.408888888889°N 19.573333333333°E / 30.408888888889; 19.573333333333 النتيجة انتصار القذافي وسيطرته على البلدة المتحاربون ...
Numerical analysis concept In numerical analysis, Gauss–Legendre quadrature is a form of Gaussian quadrature for approximating the definite integral of a function. For integrating over the interval [−1, 1], the rule takes the form: ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})} where n is the number of sample points used, wi are quadrature weights, and xi are the roots of the nth Legendre...
Family of document file formats docx redirects here. For other uses, see docx (disambiguation). Not to be confused with OpenDocument, Open Office XML, or Microsoft Office XML formats. Office Open XML Office Open XML file formats Open Packaging Conventions Open Specification Promise Office Open XML software Comparison of Office Open XML software vte Office Open XML DocumentThe OOXML Document icon, as appears on the Microsoft OneDrive web serviceFilename extension .docx, .docmInternet media...
American baseball player and coach (born 1973) Baseball player Brian SchmackSchmack with Valpo in 2018Valparaiso Beacons Relief pitcherBorn: (1973-12-07) December 7, 1973 (age 50)Chicago, Illinois, U.S.Batted: RightThrew: RightMLB debutAugust 24, 2003, for the Detroit TigersLast MLB appearanceSeptember 27, 2003, for the Detroit TigersMLB statisticsWin–loss record1–0Earned run average3.46Strikeouts4 Teams Detroit Tigers (2003) Brian Robert Schmack (born D...
AbbreviationAfNPurposeThe regulation of nutrition professionals and quality assurance of Nutrition trainingRegion served United KingdomChief ExecutiveHelen ClarkWebsitewww.associationfornutrition.org The Association for Nutrition (AfN) is the voluntary regulator for nutritionists and nutrition scientists in the United Kingdom. The association is a registered charity and is a custodian of the United Kingdom Voluntary Register of Nutritionists (UKVRN)[1] Its purpose is to protect and be...