Преобразова́ние Ке́львина применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u (x ) является функция
|OP | = x , |OP '| = x * — симметричные относительно сферы точки
u
∗ ∗ -->
(
x
∗ ∗ -->
)
=
(
R
|
x
∗ ∗ -->
|
)
n
− − -->
2
u
(
R
2
|
x
∗ ∗ -->
|
2
x
∗ ∗ -->
)
,
{\displaystyle u^{*}(x^{*})=\left({\frac {R}{|x^{*}|}}\right)^{n-2}u\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right),}
где точки x и x * симметричны относительны сферы с радиусом R :
|
x
|
|
x
∗ ∗ -->
|
=
R
2
{\displaystyle |x||x^{*}|=R^{2}}
n — размерность пространства.
Преобразование Кельвина интересно тем, что оно сохраняет гармоничность функции , при этом выполняется следующее равенство:
Δ Δ -->
u
∗ ∗ -->
(
x
∗ ∗ -->
)
=
R
n
+
2
|
x
∗ ∗ -->
|
n
+
2
(
Δ Δ -->
u
)
∗ ∗ -->
(
x
∗ ∗ -->
)
.
{\displaystyle \Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{n+2}}{|x^{*}|^{n+2}}}(\Delta u)^{*}(x^{*}).}
