Полярное преобразование окружности есть коника. Поскольку полярное преобразование кривой есть инволюция, то полярное преобразование коники есть окружность.
гиперболы, если , то есть полюс полярного преобразования находится вне исходной окружности;
параболы, если , то есть полюс полярного преобразования лежит на исходной окружности;
эллипса, если , то есть полюс полярного преобразования внутри исходной окружности;
окружности, если , то есть полюс полярного преобразования есть центр исходной окружности.
Гипербола — полярное преобразование окружности
Полярное преобразование чёрной окружности
относительно фиолетовой окружности
есть красная гипербола
с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя улитка Паскаля
—
подера чёрной окружности, а зелёная окружность
—
подера красной гиперболы, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная и зелёная окружности; улитка Паскаля и гипербола.
Описание рисунка
1. Фиолетовая база преобразований.
База преобразований состоит из точки и окружности с центром в этой точке.
Фиолетова тонкая базовая окружность с центром в начале координат и радиусом — это:
окружность полярного преобразования;
окружность двух инверсий.
2. Чёрная исходная окружность полярного преобразования.
Исходная окружность полярного преобразования показана чёрным цветом и имеет центр и радиус . На ней отмечены следующие точки.
Правая крайняя синяя точка окружности — это:
точка касания вертикальной прямой ;
неподвижная точка подерного преобразования, переводящего чёрную окружность в синюю улитку Паскаля;
начало касательных к базовой окружности.
Левая крайняя синяя точка окружности — это:
точка касания вертикальной прямой ;
неподвижная точка подерного преобразования, переводящего чёрную окружность в синюю улитку Паскаля;
начало касательных к базовой окружности.
Чёрные точки на верхней и нижней полуокружностях — это точки касания прямых, проходящих через начало координат. Эти точки рассчитываются как пересечение касательных и окружности, то есть как совместное решение их уравнений.
3. Красная гипербола.
Прямые, с помощью которых строилась гипербола как полярное преобразование окружности, следующие.
Четыре прямые, используя которые, можно построить поляры, если нет координат, — это касательные прямые и к фиолетовой базовой окружности, проведённые из точек соответственно и . Фиолетовые точки касания — это точки пересечения поляр с базовой окружностью. Угловые коэффициенты касательных рассчитываются по прямоугольным треугольникам, у которых один из катетов — это радиус базовой окружности (не нарисованы).
Две касательные прямые к чёрной исходной окружности проведены из начала координат . Их уравнения получаются аналогично тому, как описано выше в предыдущем абзаце. Две асимптоты гиперболы с угловым коэффициентом перпендикулярны этим касательным и проходят через центр гиперболы . Уравнение гиперболы с фокусом в начале координат есть , поскольку сопряжённая полуось гиперболы вычисляется по формуле
4. Синяя улитка Паскаля.
Уравнение синей улитки Паскаля подеры чёрной исходной окружности, получено из общего уравнения, имеющего двойную точку в начале координат и симметрию относительно оси , подстановкой координат двух синих точек и — неподвижных точек подерного преобразования. Улитка Паскаля проходит также через четыре красные точки пересечения базовой фиолетовой окружности с красной параболой, поскольку улитка Паскаля — инверсия параболы и наоборот, а красные точки — неподвижные точки инверсии.
На синей улитке Паскаля есть две чёрные точки. По определению подеры, чёрная точка пересечения касательной к чёрной базовой окружности и перпендикулярной к ней прямой , проходящей через полюс подеры , лежит на улитке Паскаля. Также прямая , образующей угол с горизонтальной осью и касающейся чёрной базовой окружности, пересекается с перпендикулярной к ней прямой в чёрной точке на улитке Паскаля.
5. Зелёная окружность.
Зелёная окружность , как подера красной гиперболы и инверсия чёрной базовой окружности, проходит через две зелёные точки — вершины гиперболы, а таже касается касательных прямых к базовой окружности, проходящих через полюс инверсии .
Парабола — полярное преобразование окружности
Полярное преобразование чёрной окружности
относительно фиолетовой окружности
есть красная парабола
с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя кардиоида
—
подера чёрной окружности, а зелёная вертикальная прямая
—
подера параболы, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная окружность и зелёная прямая; синяя кардиоида и красная парабола.
Эллипс — полярное преобразование окружности
Полярное преобразование чёрной окружности
относительно фиолетовой окружности
есть красный эллипс
с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя улитка Паскаля
—
подера чёрной окружности, а зелёная окружность
—
подера эллипса, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная и зелёная окружности; синяя улитка Паскаля и красный эллипс.
получаем, что эти уравнения переводятся друг в друга инверсией относительно общего полюса[4].
Следовательно, имеют место два инверсно-подерных утверждения (как показано на схеме справа)[4]:
подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой;
инверсия кривой есть подера полярного преобразования кривой.
Эти утверждения позволяют построить следующую схему (показанную на рисунке справа) преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, из которой следуют два утверждения[4]:
исходная кривая и её подера меняются ролями с помощью инверсии. На схеме кривая и её подера путём инверсии переходят в подеру кривой соответственно;
исходная кривая и её подера меняются ролями с помощью полярного преобразования кривой. На схеме кривая и её подера путём полярного преобразования кривой переходят в подеру кривой соответственно.