PROFILPELAJAR.COM

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек $A$ , $B$ и их образов $A'$ , $B'$ имеет место соотношение $|A'B'|=k\cdot |AB|$ , при некотором фиксированном $k\neq 0$ , называемым коэффициентом подобия.

Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).

История

Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.

Частные случаи

Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
Движением называется преобразование подобия с коэффициентом $k=1$ , то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.

Связанные определения

Фигура $F$ $F$ называется подобной фигуре $F'$ $F'$ , если существует преобразование подобия, при котором $F\mapsto F'$ $F\mapsto F'$ .
- Подобие фигур является отношением эквивалентности.
- Для обозначения подобия обычно используется значок $\sim$ — $F\sim F'$ означает, что фигуры $F$ и $F'$ подобны.

Метод подобия

Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку^[1].

Свойства

Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка $B$ лежит между точками $A$ , $C$ и $B'$ , $A'$ , $C'$ — соответствующие их образы при некотором подобии, то $B'$ также лежит между точками $A'$ и $C'$ .
Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
Подобие с коэффициентом $k\not =1$ $k\not =1$ , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом $k$ $k$ или $-k$ $-k$ .
- Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения $D$ и некоторой гомотетии $\Gamma$ с положительным коэффициентом.
- Подобие называется собственным (несобственным), если движение $D$ является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
- их соответственные углы равны, или
- стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в $n$ -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет $r$ -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов $r$ -членная группа подобных преобразований Ли содержит $(r-1)$ -членную нормальную подгруппу движений.