Поверхность вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Поверхность, полученная вращением кривой x=2+cos z вокруг оси z

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической, дифференциальной и начертательной геометрии.

Примеры

Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна

.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , можно вычислить по формуле

.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , можно вычислить по формуле

.

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат , действительна формула

.

Объём

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , можно вычислить по формуле

.

Вариации и обобщения

Примечания

Read other articles:

Partai Persatuan Ketua umumDjaelani NaroSekretaris JenderalMardinsyahDibentuk3 Januari 1999IdeologiIslamPolitik IndonesiaPartai politikPemilihan umum Partai Persatuan adalah salah satu partai politik yang pernah ada di Indonesia. Sejarah Partai Persatuan didirikan oleh Djaelani Naro (HJ. Naro) dan beberapa tokoh lainnya dari Partai Persatuan Pembangunan (PPP) karena kecewa atas hasil Muktamar PPP. Tujuan didirikannya Partai Persatuan ini sama sekali tidak dimaksudkan untuk menggembosi PPP, ju...

 

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

 

2013 video game 2013 video gameSoldiers Inc.Developer(s)PlariumPlatform(s)BrowserReleaseWW: 2013Genre(s)Massively multiplayer online real-time strategy game (MMORTS) Soldiers Inc. is a Massively multiplayer online real-time strategy game (MMORTS) developed and published by Plarium. The game was released in 2013 and is designed for use on web browsers. The game is military themed and set in the fictional country of Zandia, where players compete for control of the land's rich mineral fields. Th...

عمل فنيمعلومات عامةصنف فرعي من عمل إبداعيجسم فيزيائي صناعي الاستعمال decorative object (en) تجميع سبب مباشر لهذا الحدث artistic creation (en) يدرسه دراسة تاريخ الفنart (en) ممثلة بـ صيغة فنيةنوع فني تصنيف للتصنيفات التي تحمل هذا الاسم Catégorie:Catégorie d'une œuvre d'art (fr) تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيان...

 

German painter and illustrator (1839–1907) Saint Martin at the City Gates Albrecht Christoph Wilhelm von Diez (17 January 1839, Bayreuth – 25 February 1907, Munich) was a German painter and illustrator of the Munich School.[1] Life He attended a trade school in Munich, followed by the Polytechnic School (precursor of the University of Technology) from 1853 to 1855 and, from 1855, the Academy of Fine Arts Munich, where he was briefly a student of Karl von Piloty. He didn't stay at ...

 

Brownsvillecity(EN) City of Brownsville Brownsville – Veduta LocalizzazioneStato Stati Uniti Stato federato Texas ConteaCameron AmministrazioneSindacoJohn Cowen TerritorioCoordinate25°55′49″N 97°29′04″W / 25.930278°N 97.484444°W25.930278; -97.484444 (Brownsville)Coordinate: 25°55′49″N 97°29′04″W / 25.930278°N 97.484444°W25.930278; -97.484444 (Brownsville) Altitudine10 m s.l.m. Superficie378,87 km² Abitanti175&...

French footballer Not to be confused with Paul Wartelle. Paul Wartel Personal informationDate of birth (1903-04-26)26 April 1903Place of birth Puteaux, FranceDate of death 27 April 1976(1976-04-27) (aged 73)Position(s) DefenderSenior career*Years Team Apps (Gls)1926–1929 Red Star 1929–1933 Sochaux Managerial career1933–1934 US Servannaise et Malouine1939–1944 Sochaux1943–1944 EF Nancy-Lorraine1944–1946 Marseille1946–1952 Sochaux1953–1956 Besançon RC1957–1960 Sochaux (a...

 

Anneke GrönlohGrönloh in 1979Background informationBirth nameJohanna Louise GrönlohBorn(1942-06-07)7 June 1942Tondano, Dutch East IndiesDied14 September 2018(2018-09-14) (aged 76)Arleuf, FranceGenresPop, jazz, kroncongYears active1959–2017Musical artist Johanna Louise Anneke Grönloh (Dutch pronunciation: [ˈɑnəkə ˈɡrʏnloː]; 7 June 1942 – 14 September 2018)[1] was a Dutch singer. She had a successful career starting in 1959 that lasted throughout the 1960s, ...

 

2011 film directed by Lauren Montgomery This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article consists almost entirely of a plot summary. Please help improve the article by adding more real-world context. (November 2021) (Learn how and when to remove this template message) This article provides insufficient context for those unfamiliar with the subject. Please help improve the arti...

28th season of the UEFA club football tournament 1982–83 European CupThe Olympic Stadium in Athens hosted the final.Tournament detailsDates25 August 1982 – 25 May 1983Teams33Final positionsChampions Hamburg (1st title)Runners-up JuventusTournament statisticsMatches played61Goals scored180 (2.95 per match)Attendance1,812,492 (29,713 per match)Top scorer(s)Paolo Rossi (Juventus)6 goals← 1981–82 1983–84 → International football competition The 1982–83 season ...

 

Constituency of the Maharashtra legislative assembly in India PatanConstituency No. 261 for the Maharashtra Legislative AssemblyConstituency detailsCountryIndiaRegionWestern IndiaStateMaharashtraDistrictSataraLS constituencySataraReservationNoneMember of Legislative Assembly14th Maharashtra Legislative AssemblyIncumbent Shambhuraj Desai PartyShiv SenaElected year2019 Patan Assembly constituency of Maharashtra Vidhan Sabha is one of the constituencies located in the Satara district. It is a pa...

 

Франц Саксен-Кобург-Заальфельдскийнем. Franz von Sachsen-Coburg-Saalfeld герцог Саксен-Кобург-Заальфельдский 8 сентября 1800 — 9 декабря 1806 Предшественник Эрнст Фридрих Саксен-Кобург-Заальфельдский Преемник Эрнст I Саксен-Кобург-Заальфельдский Рождение 15 июля 1750(1750-07-15)Кобург, Сакс...

馬哈茂德·艾哈迈迪-内贾德محمود احمدی‌نژاد第6任伊朗總統任期2005年8月3日—2013年8月3日副总统帷爾維茲·達烏迪穆罕默德-禮薩·拉希米领袖阿里·哈梅內伊前任穆罕默德·哈塔米继任哈桑·魯哈尼不结盟运动秘书长任期2012年8月30日—2013年8月3日前任穆罕默德·穆尔西继任哈桑·魯哈尼德黑蘭市長任期2003年6月20日—2005年8月3日副职阿里·賽義德盧前任哈桑·馬利克邁達尼�...

 

 烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/(英文) 乌克兰 乌克兰政府与政治系列条目 宪法 政府 总统 弗拉基米尔·泽连斯基 總統辦公室 国家安全与国防事务委员会 总统代表(英语:Representatives of the President of Ukraine) 总...

 

Football clubBloemfontein CelticFull nameBloemfontein Celtic Football ClubNickname(s)Phunya Sele Sele, Siwelele Founded1969; 55 years ago (1969), as Mangaung UnitedLeagueABC Motsepe League Home colours Away colours Bloemfontein Celtic Football Club (simply known as Celtic) is a South African amateur football club based in Bloemfontein that competes in the ABC Motsepe League, the third tier of the South African football league system. Bloemfontein Celtic had a large fan base...

本條目存在以下問題,請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要編修,以確保文法、用詞、语气、格式、標點等使用恰当。 (2013年8月6日)請按照校對指引,幫助编辑這個條目。(幫助、討論) 此條目剧情、虛構用語或人物介紹过长过细,需清理无关故事主轴的细节、用語和角色介紹。 (2020年10月6日)劇情、用語和人物介紹都只是用於了解故事主軸,輔助�...

 

Census-designated place in Washington, United StatesHobart, WashingtonCensus-designated placeHobart post office and general storeLocation of Hobart, WashingtonCoordinates: 47°24′56″N 122°0′21″W / 47.41556°N 122.00583°W / 47.41556; -122.00583CountryUnited StatesStateWashingtonCountyKingArea • Total18.9 sq mi (49.0 km2) • Land18.8 sq mi (48.7 km2) • Water0.1 sq mi (0.3 km2)Elevat...

 

2013 American filmThe Power InsideDirected byWill Speck and Josh GordonWritten byMatthew RobinsonProduced byFurlined/LovechildStarring Harvey Keitel Analeigh Tipton Craig Roberts CinematographyJo WillemsEdited byRick PearsonMusic byElias ArtsProductioncompanyIntel/ToshibaDistributed byPereira & O'dellRelease date August 14, 2013 (2013-08-14) CountryUnited StatesLanguageEnglish The Power Inside is a 2013 comedy social film developed by Intel and Toshiba. It is Intel and Tosh...

American tactical equipment manufacturer For other uses, see Sure Fire (disambiguation). SureFire, LLCCompany typeLimited Liability CompanyIndustryIllumination ToolsTactical EquipmentPredecessorLaser Products CorporationFoundedOctober 17, 1979; 44 years ago (1979-10-17)[1]FounderDr. John MatthewsDr. Peter HaukEd ReynoldsHeadquartersFountain Valley, California, U.S.Key peopleJohn Matthews (Co-founder, President and CEO)Sean Vo (CFO)[2]ProductsFlashlightsWeapon...

 

Election in Indiana Main article: 1960 United States presidential election 1960 United States presidential election in Indiana ← 1956 November 8, 1960[1] 1964 →   Nominee Richard Nixon John F. Kennedy Party Republican Democratic Home state California Massachusetts Running mate Henry Cabot Lodge Jr. Lyndon B. Johnson Electoral vote 13 0 Popular vote 1,175,120 952,358 Percentage 55.03% 44.60% County Results Nixon   40-50%  &#...