В комбинаторикеперестано́вкой заданного конечного множества (все элементы различны) называется произвольный упорядоченный набор всех элементов (без повторений). Группируя эти элементы в разном порядке, можно получить различные перестановки. Всего из множества с элементами можно получить (-факториал) различных перестановок (см. рисунок)[1][2].
Перестановка является частным случаем размещения, когда выбираются все элементы множества[1].
Перестановку можно рассматривать как функцию, которая каждому элементу некоторой начальной перестановки сопоставляет соответствующий по номеру элемент данной перестановки. Такую функцию часто называют подстановкой[3]. Перестановка множества может быть наглядно представлена в виде таблицы:
где и .
Пример: перестановка элементов множества в обратном порядке:
Инверсией в перестановке называется всякая пара индексов такая, что и . Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки. Пример:
Здесь элементы 2 и 3 образуют инверсию.
Связанные определения
Носитель перестановки — это подмножество множества , определяемое как
Неподвижной точкой перестановки является всякая неподвижная точка отображения , то есть элемент множества Множество всех неподвижных точек перестановки является дополнением её носителя в .
Циклом длины называется такая подстановка которая тождественна на всём множестве кроме подмножества и Обозначается .
Транспозиция — перестановка элементов множества , которая меняет местами два элемента. Транспозиция является циклом длины 2.
Произведения циклов и знак перестановки
Перестановку можно представить в виде ориентированного графа, где вершинами являются элементы конечного множества, а связи между вершинами описывают переход. В случае, , для элемента рисуется петля. Таким образом, получается граф, где из каждой вершины выходит и входит одно ребро. Пример перестановки представленной в виде ориентированного графа можно увидеть на изображении справа.
Таким образом, любая перестановка может быть разложена в произведение (композицию) непересекающихся циклов длины , причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:
Часто также считают, что неподвижные точки перестановки представляют собой самостоятельные циклы длины 1, и дополняют ими цикловое разложение перестановки. Для приведённого выше примера таким дополненным разложением будет . Число циклов разной длины, а именно набор чисел , где — это число циклов длины , определяет цикловую структуру перестановки. При этом величина равна длине перестановки, а величина равна общему числу циклов. Число перестановок из элементов с циклами даётся числом Стирлинга первого рода без знака.
Любой цикл может быть разложен в произведение (не обязательно непересекающихся) транспозиций. При этом цикл длины 1 (являющийся по сути тождественной перестановкой ) можно представить как пустое произведение[англ.] транспозиций или, например, как квадрат любой транспозиции: Цикл длины можно разложить в произведение транспозиций следующим образом:
Разложение циклов на произведение транспозиций не является единственным:
Таким образом, любая перестановка может быть разложена в произведение транспозиций. Хотя это можно сделать многими способами, чётность числа транспозиций во всех таких разложениях одинакова. Это позволяет определить знак перестановки (чётностью перестановки или сигнатурой перестановки) как:
где — число транспозиций в каком-то разложении . При этом называют чётной перестановкой, если , и нечётной перестановкой, если .
Эквивалентно, знак перестановки определяется её цикловой структурой: знак перестановки из элементов, состоящий из циклов, равен
.
Знак перестановки также может быть определён через число инверсий в :
.
Вариации и обобщения
В теории групп под перестановкой произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя. Как синоним слову «перестановка» в этом смысле некоторые авторы используют слово подстановка. (Другие авторы подстановкой называют (приведённый выше) наглядный способ записи перестановки. Более существенное отличие состоит в том, что подстановка — это непосредственно функция, а перестановка — результат применения этой функции к элементам последовательности.)
Композиция определяет операцию произведения на перестановках одной длины: Относительно этой операции множество перестановок из элементов образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают .
Рассмотрим элементов различных типов, причём в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением.
Если — число элементов -го типа, то и число всевозможных перестановок с повторениями равно мультиномиальному коэффициенту
Перестановку с повторениями можно также рассматривать как перестановку мультимножества мощности .
Случайной перестановкой называется случайный вектор все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.
Независимой случайной перестановкой называется такая случайная перестановка , для которой:
для некоторых таких, что:
Если при этом не зависят от , то перестановку называют одинаково распределённой. Если же нет зависимости от , то есть то называют однородной.
↑Виленкин Н.Я.Глава III. Комбинаторика кортежей и множеств. Размещения с повторениями // Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 80. — 208 с. Архивировано 14 октября 2010 года.
Дональд Кнут. Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск = The Art of Computer Programming, vol.3. Sorting and Searching. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — 824 с. — ISBN 0-201-89685-0.