Между функциями распределения ${\displaystyle \left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\}}$ и множеством их характеристических функций ${\displaystyle \left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}}$ существует взаимно однозначное соответствие.

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.

Из всякой последовательности функций распределения ${\displaystyle \left\{F_{x}\right\}}$ можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Если ${\displaystyle g\left(x\right)}$ — непрерывная ограниченная функция на прямой и ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1,}$ то

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)}$

Пусть ${\displaystyle D=\left\{x_{k}\right\}}$ — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности ${\displaystyle 0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1}$ выбираем сходящуюся подпоследовательность ${\displaystyle F_{1n}\left(x_{1}\right)}$, предел которой обозначим ${\displaystyle F\left(x_{1}\right).}$

Из ограниченной последовательности ${\displaystyle 0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1}$ выбираем сходящуюся подпоследовательность ${\displaystyle F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)}$ и т. д.

Далее выбираем диагональную подпоследовательность ${\displaystyle f_{nn}\left(x\right)}$, для которой ${\displaystyle F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)}$ для любой точки ${\displaystyle x_{k}\in D.}$

По лемме отсюда вытекает ${\displaystyle F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).}$

Если ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)}$ на всюду плотном на прямой множестве ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).}$

${\displaystyle F\left(x\right)}$ может не быть функцией распределения. Например, если ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)=0}$ при ${\displaystyle x<n}$ и ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)=1}$ при ${\displaystyle x\geq n,}$ то ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.}$

Пусть ${\displaystyle a<b}$ — точки непрерывности ${\displaystyle F\left(x\right)}$.Докажем сначала, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)}$.

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Разделим ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ точками непрерывности ${\displaystyle a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b}$ функции ${\displaystyle F\left(x\right)}$ на такие отрезки ${\displaystyle \left[x_{k-1},x_{k}\right]}$, что ${\displaystyle \left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon }$ для точек ${\displaystyle x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]}$.

Это сделать можно, так как ${\displaystyle g\left(x\right)}$ равномерно непрерывна на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, а точки непрерывности ${\displaystyle F\left(x\right)}$ расположены всюду плотно.

Определим ступенчатую функцию.

${\displaystyle g_{\varepsilon }\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)}$ на ${\displaystyle x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]}$.

Тогда

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left(x\right)\leq }$

${\displaystyle \leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right]\right].}$

где ${\displaystyle {\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.}$.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).}$

Для доказательства

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)}$

выберем ${\displaystyle X>0}$ таким, чтобы ${\displaystyle F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}}$ и ${\displaystyle 1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}}$ и чтобы точки ${\displaystyle \pm X}$ были точками непрерывности ${\displaystyle F\left(x\right).}$

Тогда, так как ${\displaystyle F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)}$ можно выбрать ${\displaystyle n_{0}}$ таким, что при ${\displaystyle n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ и ${\displaystyle 1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$

Оценим разность

${\displaystyle \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }$

${\displaystyle \leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.}$

На основании ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)}$ заключаем, что правая часть

${\displaystyle \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }$

${\displaystyle \leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.}$

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

• Прямая и обратная предельная теорема

• Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.